國立臺灣大學

Analysis: 一題有關countability

8月7日 23:15
大家好,最近小弟在讀Stephen Abbot的Understanding Analysis,其中遇到一個問題卡住,於是來版上求助: 其中Ex 1.5.8題目是: Let B be a set of positive real numbers with the property that adding together any finite subset of elements of B always gives a sum of 2 or less. Show B must be finite or countable. 除了反證法之外,網路上許多人用類似以下這個方法證明: (出處:
)
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我的問題如下: 1.這個證明的起手式建立Bn這組sequence of subset時,為甚麼會要定義成 >= 2/n?動機是甚麼? 2.這個證明還寫說Bn can have no more than n-1 distinct elements,這句我也不太懂為甚麼?如果要限制Bn裡面element的sum不超過2,寫b >= 2/n的話,其實有些b可能自己就會b > 2了,那這個subset Bn 不就不符合題目要求了? 3. 為甚麼union of Bn = B ? 謝謝大家
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1. 其實它應該只是希望對B做分割,這樣才比較好看出它不會是不可數。(當然可能有其他的分割方法) 2. B_n有一個要求是它的元素是從B裡面取出來的,因此它的元素就保證不大於2 3. 可以用左右互相包含的概念去看 左包含右:因為每個B_n都是B的子集,取聯集之後還是 右包含左:對於任意在B裡面的b,因為b>0,因此可以取n>=下高斯(2/b)+1,這樣b就會在B_n裡面,也就會在聯集裡面了