有關於unit step function的傅立葉轉換

長庚大學

這次我想要問有關於對於步階函數的傅立葉轉換

下面是解答

18.15(b) 題目寫這樣其實就只是想要表達求2u(t-1)的傅立葉轉換所以我先去求 u(t-1)的傅立葉轉換之後再乘以2就好了

從負無限積到無限對u(t-1)exp(-iwt)對t積分可以簡化成從1積到正無限然後 u(t-1)在t>0時恆等於1 所以就可以省略但我不知道 u(t) 要如何從傅立葉的定義或者說最原始的公式推導會遇到無限的問題如果方便的話也感謝您的協助所以我現在暫時只知道如果是從0積到無限大的值是 pi * δ(omega) + 1/(j * omega) 所以 1~infinite = 0~infinite - 0~1 這樣的話我會相較於答案多出Pi那項下面是我嘗試利用傅立葉最原始的公式來求F{u(t)}

以下的omega我以w來代替我標記起來的地方是 exp(-i * w * infinite) 這樣的話他會是震盪的....吧 //他收斂時是在 -i * w<0 即是 Im(w) > 0時但是 w是實數呀所以她不會收斂我自己在網路上找到的都是用像是 u = 1/2 ( 1 + sgn(t)) sgn(t) = 1 as t > 0, and -1 as t < 0