一般智障型的計算機也可以算三角函數?最完整的一般計算機按法攻略

零、前言 嗨,大家好,礙於數學版上沒有任何按計算機的攻略文,我的帳號首PO就奉獻給數學版了,文章可能很長,請愛用搜尋。 你可能不知道,一般非工程型的計算機也可以算三角、反三角、雙曲、反雙曲、指數、對數、任意冪次、等差等比級數和?!當你帶著一般的這種智障型不能算函數值的計算機去參加期中考、期末考、國家考試、雇員考試,而臨時需要計算函數值時,是不是只能自己手動去算近似值,但其實善用一般智障型計算機,會讓你在不便的地方發揮意想不到的功能喔。 當然,這篇文章的目的不是讓你反其道而行,不是讓你在有工程型的計算機在旁邊的情形下,還傻傻地白折騰,科技的進步不是這樣拿來浪費的,目的是在於「阿沒辦法啊,考試就只能帶第一類國家考試的計算機,只能帶這種一般智障型計算」的情形下,讓你有個方法可以求出函數值,這才是我最主要想分享的。 喔對了,基本的四則運算、開根號、百分比運算,我想每台計算機的說明書應該都講得很明白了,而且大家應該用的滾瓜爛熟就不贅述了。 然後開頭要先強調,做任何運算前,請先按MC和AC鍵,清除所有記憶體,以免出錯。 一、基本計算 進入正題,現代的一般計算機應該都會有我所述的以下三種大功能,GT累加功能、M+M-MRMC的功能及K值計算功能,如果沒有上述的功能的計算機,趕緊丟掉(X),好啦還是可以算但是會增加許多麻煩,需要另外自己手抄或記下,目前我身邊自己使用的具有上述三大功能,而且還是第一類國家考試專用計算機的是CASIO的SL-240LB這一款計算機(不是業配喔)。底下就來說明,這三大功能的特點及應用: GT累加功能:當「每次」你按下「=」鍵時,就會把當前的運算結果,累加到GT這個暫時存放的地方,所以如果你仔細觀察,有GT按鍵的計算機,在你按下等於時,螢幕通常會有運算結果和「GT」的字樣,這表示說目前GT這個暫存的地方有數值(GT暫存的初始值為0),底下舉個例子:當你按了「3×5」之後,按下「=」鍵,這時螢幕上會顯示「15」及「GT」,然後再按「9×6」,按下「=」鍵,這時螢幕上會顯示「54」及「GT」,然後這時你按下「GT」鍵,應該會顯示「69」,也就是你每次按下「=」鍵,都會把結果放到GT裡面去做累加的動作,也就是「15+54」,爾後你再執行其他運算,都還會持續地累加上去,直到你按下AC清除鍵(有的計算機是要連按兩次GT鍵清除變為0)。有一個要注意的點就是,如果累加的值剛好為0,那麼螢幕上的GT字樣就會消失。 M+、M-、MR、MC功能:M就是記憶的意思,所以這些按鍵都是和記憶有關的操作,MR是把儲存在MR裡的數值顯示出來,MC是把MR裡的數值清除(使其值為0),注意有的計算機是把MR及MC整合在一個按鍵為MRC,按一次是顯示MR裡的數值,按第二次是清除MR裡的數值;MR裡面有非0值時,會在顯示屏幕上有一個M字樣,當值為0時,M字樣就會消失(這點和GT累加功能一樣);M+就是把MR裡的數值加上當前的運算結果再放回去MR裡儲存,M-也是同樣道理,把MR裡的數值減去當前的運算結果再放回去MR裡儲存,注意M+與M-的功能就相當於「=」鍵,也就是說,當我要計算「3×5」送入MR做累加時,只要再按下M+就可以,不必先按「=」再按M+。 K值計算功能:這個功能應該是我認為一般計算機功能最強大的地方了,簡單講,當你連續按兩次運算符號(+-×÷其中之一),螢幕上就會顯示一個K字樣,表示現在是一個K值計算模式,當你需要加上、減去、乘上、除以某個數a時,就先按a,然後連續按兩次運算符號,最後再按被運算數(被加數、被減數、被乘數、被除數)就可以了,然後按下「=」鍵就可以運算,而這個被運算數若沒有按的話,就會以當前屏幕上的數字做為被運算數,這句話無敵無敵非常非常重要ㄚㄚㄚㄚㄚ,離開K值模式只需要按下AC或其他運算符號就可以了;以下舉一些應用的例子: 1、當你要計算83+1911、97+1911、102+1911、113+1911時,可以看到加上的值是固定的,只有前面的被加數不一樣,此時你只需要這樣按:1911 + + 83 = 97 = 102 = 113 =,就可以得出四個運算式的結果。 2、當你要計算15×2.54、23×2.54、9×2.54、4×2.54時,可以看到乘數是固定的,只有前方的被乘數不一樣,此時只需要這樣按:2.54 × × 15 = 23 = 9 = 4 =,就可以得出四個運算式的結果。 3、算N次方:來,還記得那句很重要的話嗎?「而這個被運算數若沒有按的話,就會以當前屏幕上的數字做為被運算數」,利用這個特性就可以來算N次方,例如:我按下2 × ×,表示我將乘數固定為2,然後呢,我不要按任何數字,直接按下「=」鍵,你就會看到結果為4,同時有GT字樣,為什麼呢?因為這句話「而這個被運算數若沒有按的話,就會以當前屏幕上的數字做為被運算數」,也就是計算機以當前數字2作為被乘數運算了,相當於運算2×2,好的,那麼再按一次「=」,螢幕上會顯示8,為什麼呢,還是那句話,此時K字樣還在,乘數依舊是最開始的2,被乘數呢,是螢幕上的4,所以就是運算4×2,那4怎麼來的,也就是2×2,所以我按了兩次「=」,相當於算2的3次方,也就是要算N次方,就要按N-1次的「=」鍵。 總結來說,要計算某數a的N次方,按法如下: a × × = (N-1次) 欸,對了,當N值很大時,可以善用更快的預設乘法,同樣也是很重要的一句話,「非K值模式下,當乘數省略時,預設會以當前螢幕的值作為乘數運算」,利用這個特性,可以計算很高次方,尤其是次方剛好是2^N時,如我要計算2的32次方,32剛好是2^5,按法如下:先按2,此時按下× =,會顯示為4同時有GT字樣,為什麼呢?因為省略乘數的情況下,計算機將螢幕上的2作為乘數,因此會運算2×2,那麼再按下× =,會顯示16,為什麼呢?因為省略乘數的情況下,計算機將螢幕上的4作為乘數,因此會運算4×4,那麼再按下× =,會顯示256,為什麼呢?因為省略乘數的情況下,計算機將螢幕上的16作為乘數,因此會運算16×16,至此有沒有發現,每按一次× =的組合鍵,就是剛好計算2^(2^N),所以2的32次方,就是這樣按2 × = × = × = × = × =,就好了。 總結來說,要計算某數a的2^N次方,按法如下: a [× =] (N次) (中括號內表示為一個組合) 摁?!那你說要是算2^50如何算,你可以考慮先算2^32,算完按M+存在MR裡,然後按AC清除GT,再算2^18,最後乘上MR即可,就留著自己去拆解囉。 4、等差及等比級數和:嘿,聰明的你應該想到了,在上一節的算N次方以及第一節的固定加數,是否有讓你似曾相似的港J呢?對,就是乘數和加數讓你想到了公比及公差,所以接下來要教你如何按出等差和等比級數和 首先考慮一個等比級數1+3+9+27+...,算前9項的和是多少?既然是「和」,那就肯定和GT有關啦,將第一項輸入到GT,因此先按1 =,此時把公比3視為固定的乘數,因此按3× ×,然後呢,輸入被乘數1,按「=」,也就是運算1×3(第二項),再按「=」,也就是運算3×3(第三項),再按「=」,也就是運算9×3(第四項),依此類推,到目前為止,已經把所有項都輸入到GT裡面了,最後按下GT鍵就可以得到等比級數和,總結步驟如下: 假設首項a1,公比是r,項數有n a1 =(輸入首項至GT累加) r × ×(輸入公比,固定乘數,K值模式) a1 =(輸入第二項,相當於a1乘以r) =(輸入第三項,相當於a2乘以r) ... (第n項,就按n-1次=) GT(顯示總和) 也就是 a1 = r × × a1 =(n-1次) GT 考慮一個等差級數1+4+7+10+...,算前9項的和是多少?既然是「和」,那就肯定和GT有關啦,將第一項輸入到GT,因此先按1 =,此時把公差3視為固定的加數,因此按3 + +,然後呢,輸入被加數1,按「=」,也就是運算1+3(第二項),再按「=」,也就是運算4+3(第三項),再按「=」,也就是運算7+3(第四項),依此類推,到目前為止,已經把所有項都輸入到GT裡面了,最後按下GT鍵就可以得到等差級數和,總結步驟如下: 假設首項a1,公差是d,項數有n a1 =(輸入首項至GT累加) d + +(輸入公比,固定加數,K值模式) a1 =(輸入第二項,相當於a1加上d) =(輸入第三項,相當於a2加上d) ... (第n項,就按n-1次=) GT(顯示總和) 也就是 a1 = d + + a1 =(n-1次) GT 好啦,項數少的時候用此方法按很OK,當項數多時,請愛用等差及等比級數公式,謝謝你的配合。 喔,對了,如果公比剛好是某個數的倒數,就更爽了(欸不是,是更好了)。例如這樣的:
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這種題目,千萬別傻傻的用剛剛等比級數的方法按,只要這樣按: x ÷ ÷ =(n次) GT 就能算出來了,為什麼呢?留給你們自己思考,真的有人問為什麼我再回答XD 5、顛倒被除數和除數的輸入順序,這是一個非常好用的技巧,上面說過,K值運算的特色就是允許你先輸入後方的運算數,最後再輸入前方的被運算數,這種特性在除法的優勢上就顯現出來了,例如我們來計算這道題:
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我猜猜一般人的做法是,先按1 ÷ 2 =,把結果0.5抄下來,然後按1 ÷ 3 =,把結果0.3333抄下來,然後0.5 + 0.3333 =,再把結果0.83333抄下來,最後按1 ÷ 0.83333 =,才算出結果,摁當然這也是一種方法,只不過真的還可以更好點。 而懂得GT功能的人就會這樣按,先按1 ÷ 2 =,再按1 ÷ 3 =,最後按1 ÷ GT =,結果就是1.2。 那懂得GT又懂得K值運算的人就會這樣按,先按1 ÷ 2 =,再按1 ÷ 3 =,最後按GT ÷ ÷ 1 =,結果也是1.2,雖然這方法和第二種差沒多少,但萬一遇到像這樣的題目
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你是否有辦法從頭到尾只用計算機而不手抄任何數字一步到底?(這是一個非常重要的關鍵,會在最後做說明) 這裡我提供按法的思路,像這種複雜的分數中又有分數的形式,建議先從複雜的地方下手然後從分母算到分子,然後搭配MR及GT兩個儲存器,當你運算到一個階段後,善用清除功能保留另一個儲存器(口訣:保留要的部分清除已經成為歷史的部分),來完成運算,按法是: 3 √ √ =(此時3的四次方根會在GT) 6 √ ÷ GT =(此時螢幕上顯示的就是根號6除以3的四次方根的值) ÷ ÷ 1 M+ AC(倒數,此時整個分母的右半部已經儲存在MR裡了,因為是加號所以用M+,同時GT裡的值已經不需要用到所以按AC清除且離開K值模式) 45 × 6 =(此時計算45 × 6的值) ÷ ÷ 1 M+ AC(倒數,此時整個分母的左半部已經累加在原本的MR裡了,因為前方是正號所以用M+,同時GT裡的值已經不需要用到所以按AC清除且離開K值模式) MR ÷ ÷ 1 =(最後再按一次倒數,就可以算出結果了) 好,前面的每個部分都是開胃菜,就是很一般的按法分享而已,應該算是很基礎,就是在會計系同學面前獻醜了XD 相信根據以上的洗禮,應該對於計算下方這種式子都可以一口氣處理而不用中途抄下數字了吧
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例如,有這些數據 x y 1 5 2 9 3 7 5 6 4 9 按法步驟如下: 1 × 5 M+ 2 × 9 M+ 3 × 7 M+ 5 × 6 M+ 4 × 9 M+ AC(先算X和Y的乘積之和,按AC清除GT,此時MR儲存X和Y的乘積之和) 1 + 2 + 3 + 5 + 4 = C(再算X的總和,此時GT就是X的總和,按C清除螢幕就好) 5 + 9 + 7 + 6 + 9 × GT =(再算Y的總和,當你按下×鍵時,螢幕上已經會把Y的總和算好了,這時候再乘以GT,也就是X的總和,那麼按下=之後,螢幕上顯示的就是X總和與Y總和的乘積,這是一種小技巧,會在之後說明) ÷ 5 M-(除以數據個數之後,讓原本剛剛儲存在MR的數值減去此結果) MR(按下MR就是Sxy了) 得到結果Sxy=2 二、計算以10為底的對數 首先先給數學式子
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好,數學的部分就交給大家慢慢消化吸收,總之步驟就是,用手抄下每一個ni(i=1,2,3,...),這個就是每一個位數的數字,假設我們要算log10(2)大概是多少? 第一步,把2變成科學記號,也就是2×10^0,此時對照上方a1是2,n1是0,0就是個位數字,然後算a1^10,也就是算2^10,按法參考前面的章節,也就是2 × × =(9次),得到1024,再一次變成科學記號,也就是1.024×10^3,a2是1.024,n2是3,也就是小數點下第一位,再算a2^10,即1.024^10,按法為1.024 × × =(9次),得到1.2676506,換成科學記號為1.2676506×10^0,a3是1.2676506,n3是0,也就是小數點下第二位,再算a3^10,即1.2676506^10,按法為1.2676506 × × =(9次),得到10.715086071863,換成科學記號為1.0715086071863×10^1,a4是1.0715086071863,n4是1,也就是小數點下第三位,依此不斷算下去,可得到一串數字序列,即n1,n2,n3,n4,....,這就是對數值的每個位數,因此算出log10(2)大約為0.301,總結步驟如下: 把x變成科學記號a1×10^n1,手抄下n1 a1 × × =(9次) 把結果變成科學記號a2×10^n2,手抄下n2 a2 × × =(9次) 把結果變成科學記號a3×10^n3,手抄下n3 a3 × × =(9次) 把結果變成科學記號a4×10^n4,手抄下n4 a4 × × =(9次) 依自己精度需要往下做 以log10(300)為例子 300 ÷ 100 =(此步驟就是換成科學記號的步驟,小數點往前移兩位,即手抄n1=2,a1=3) × × =(9次) (結果為59049) ÷ 10000 =(此步驟就是換成科學記號的步驟,小數點往前移四位,即手抄n2=4,a2=5.9049) × × =(9次) (結果為51537752.073201) ÷ 10000000 =(此步驟就是換成科學記號的步驟,小數點往前移七位,即手抄n3=7,a3=5.1537752073201) × × =(9次) (結果為13220708.194808) ÷ 10000000 =(此步驟就是換成科學記號的步驟,小數點往前移七位,即手抄n4=7,a4=1.3220708194808) × × =(9次) (結果為16.313501853425) ÷ 10 =(此步驟就是換成科學記號的步驟,小數點往前移一位,即手抄n5=1,a5=1.6313501853425) × × =(9次) (結果為133.4971414229) ÷ 100 =(此步驟就是換成科學記號的步驟,小數點往前移兩位,即手抄n6=2,a6=1.334971414229) 所以log10(300)約為2.47712 三、多項式代入求值 假設今天有一道題目是這樣:
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你的按法會是如何呢?我想大部分人應該是會這樣按: 5 × × =(5次) × 6 M+ 5 × × =(3次) × 37 M+ 5 × × =(2次) × 55 M+ 5 × × = × 21 M+ 5 × 10 M+ 6 M+ MR 得到結果為124331,這樣的按法可以,但是還可以更效率一點,再次把數學搬出來XDD
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也就是把原本的多項式,不斷地提出x出來,依序下去,會比較適合一般計算機計算,改善後的按法如下: 5 M+ (把要帶入的值存入MR) 6 × MR + 0 =(也就是上圖的an乘上x加上an-1) × MR + 37 =(也就是上個步驟結果,乘上x加上an-2) × MR + 55 = × MR + 21 = × MR + 10 = × MR + 6 = 總結步驟如下: x0是要代入的值,an是最高次項係數,依此類推,a0是常數項 x0 M+ an × MR + an-1 = × MR + an-2 = × MR + an-3 = .... × MR + a1 = × MR + a0 = 好的,為什麼要講多項式呢?原因在於一般計算機根本不能直接求這些超越函數的值,唯一的方法就是使用泰勒展開式去計算近似值,而泰勒展開式就是一種多項式,所以原因就在這啦。 四、三角函數 先搬出數學
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看到這,非常頭痛,每一項的分母都有階乘,更不用說一般計算機能算到17!就該偷笑了,這種多項式的外觀根本就不利於一般計算機計算,於是仿照前面做法,把cos的展開式變成這樣
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保留第一項的1,後面不斷提出x^2項以及分母連乘的前兩項,留給大家自己去計算啦,目前我自己按了好幾次的結果,大概從取前16項就可以達到很高的精度(再高就沒意義了,原因在於一般計算機大概就14位或12位),假設我們要算cos(3)是多少,按法步驟如下: 3 × = M+ (把3的平方存入MR) MR ÷ 30 ÷ 29 = - - 1 =(這步驟資訊量太大,解釋一下,30和29也就是第16項的分母,用剛才存入的3的平方去除以30再除以29,前方有個1-....,就用K值減法,目前螢幕上的結果作為減數,1作為被減數,也就是運算1-(3^2/30*29)的值,也就是上圖中最內層的括號) × MR ÷ 28 ÷ 27 = - - 1 =(然後把上一步驟的結果,也就是最內層括號,先乘上3的平方,再除以28除以27,然後依此類推) × MR ÷ 26 ÷ 25 = - - 1 = × MR ÷ 24 ÷ 23 = - - 1 = × MR ÷ 22 ÷ 21 = - - 1 = ... × MR ÷ 4 ÷ 3 = - - 1 = × MR ÷ 2 ÷ 1 = - - 1 = 最後就可以得到結果cos(3)約為-0.9899924966004 把步驟總結如下: 假設要代入的值為x0 x0 × = M+ MR ÷ 30 ÷ 29 = - - 1 = × MR ÷ 28 ÷ 27 = - - 1 = × MR ÷ 26 ÷ 25 = - - 1 = ... × MR ÷ 4 ÷ 3 = - - 1 = × MR ÷ 2 ÷ 1 = - - 1 = 對,我幫你測試了,上述步驟如果按的順的話,大概花費你1分40秒的時間,沒錯,你可能會覺得心裡很幹,我他X的工程計算機就幾秒鐘的事情,你他X的一般計算機在這裡浪費人生,好吧,我懂你的痛苦,但我還是得說那句話,「當然,這篇文章的目的不是讓你反其道而行,不是讓你在有工程型的計算機在旁邊的情形下,還傻傻地白折騰」,所以請別砲轟我了XD。 好,計算三角函數呢,一律都使用弧度單位,所以以上如果代入的值x0大於6.28多(也就是2pi),或小於-6.28多(也就是-2pi),請使用cos為週期函數的特性(cos(x)=cos(x+2npi)=cos(x-2npi)),將你的值濃縮在0~2pi之間,否則x0值太大,上方的按法會讓你出現error(溢位)。 那你說其他三角函數呢?就請愛用以下這些恆等式吧
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以上所有的x代入都可以成立 五、反三角函數 反三角函數比較棘手,網路上國內、國外都找遍了各種近似方法,目前大概有以下缺點: 1、利用泰勒展開式:此種方法可以做,但很多係數的值要另外背起來,如果在考試中根本沒辦法再另外記這個展開式的各項係數,因此不考慮。看看下方這種係數,真有辦法記起來嗎XD。
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2、承1,反正切的展開式看起來比較簡潔,但是我實際測試按了一下計算機,收斂真的太慢了,n值都要很大才會達到計算機的精度,要按很久XD
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所以到目前為止,我大概只能找到一個精度能到6位小數的辦法算反餘弦值arccos,是利用餘弦cos的半角公式以及正弦sin的小角度近似的方法,半角公式如下:
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上方的公式取正號即可,透過不斷的把原本的角度切半,最後角度非常接近0度時,就可以利用下方公式來近似:
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最後,計算的方式如下:
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這裡的n值不能太小,太小準確度會不太夠,n值太大的話,會使得角度切分太細,最後的cos值會非常接近1,導致sin值會非常趨近0,礙於計算機內的捨入誤差,就無法算出arccos的值,我大概測試了一下,大概n取10就可以了,假設要算arccos(1/3),按法如下: 2 × × =(8次) M+ (把公式前面的2^n先算出來存到MR裡面去) AC (清除螢幕和GT暫存器的數值,並離開K值乘法運算) 1 ÷ 3 = (輸入數值) + 1 ÷ 2 = √ (這時候是cos(theta/2)的值,第一次) + 1 ÷ 2 = √ (這時候是cos(theta/4)的值,第二次) ... + 1 ÷ 2 = √ (這時候是cos(theta/1024)的值,第十次) × = - - 1 = √ (這時候是sin(theta/1024)的值) × MR = (乘上剛剛存在MR的2^n之後,就是arccos(1/3)的近似值,約為1.230959) 假設要算的餘弦值為a,按法如下: 2 × × =(8次) M+ AC a = [+ 1 ÷ 2 = √ ](10次) (中括號裡面為一個整體,也就是中括號內要依序按完後,重複這個動作10次) × = - - 1 = √ × MR = 至於其他類型的反三角函數值,就請善用恆等式求出。
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六、指數、雙曲函數及反雙曲函數 接下來,仿照以前做法,來算算自然指數函數,展開式如下:
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一樣地,這種外觀還是得改變一下
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那麼,背後的數學推導過程就交給聰明的各位啦,這裡來計算尤拉數e^1為例子,我也幫大家算好了,以現在的一般計算機精度,大概也是取前16項就可以算很準了,按法步驟如下: 1 M+ (將1放在MR儲存) MR ÷ 15 = + 1 =(這步驟解釋一下,15也就是第16項的分母,用剛才存入的1去除以15,然後加上1,也就是上圖中最內層的括號) × MR ÷ 14 = + 1 =(按照上圖中的算法) × MR ÷ 13 = + 1 = ... × MR ÷ 2 = + 1 = × MR ÷ 1 = + 1 = 這樣算出來的結果,e^1大約為2.718281828459 把步驟總結如下: 假設要代入的值為x0 x0 M+ × MR ÷ 14 = + 1 = × MR ÷ 13 = + 1 = ... × MR ÷ 2 = + 1 = × MR ÷ 1 = + 1 = 對了,這按法是讓你計算指數介於0~1之間使用的,若要計算1以上的次方,別使用此種按法,你要計算到前30項、40項,會按到哭,要使用前面的計算N次方的方法,或是稍後計算任意次方的方法,勸你還是把e好好地背下來吧,不然就要這樣按了。 所以呢假設你今天要計算e^3.7,請你拆解成e^3×e^0.7,e^3用前面的N次方按法,e^0.7用此種按法,同樣地,你要計算e^(根號30),請你拆解成e^5×e^(根號30-5)。 好了,那你開始有疑問了,有了以10為底的對數按法以及自然指數的按法能幹嘛?哈,用途可多的呢 1、計算自然對數函數用這個等式,就是換底公式,其他底數的對數也可以這樣算,交給你們了:
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上方式子內的東西,都在以前就提過按法了,然後手抄下來自己相除。 2、計算一個數的任意實數次方
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如上,所有式子內的東西,按法都在上方提到過了,手抄下來自己相除、相乘。 3、雙曲函數、反雙曲函數:恆等式,就參考微積分和維基百科
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以上雙曲函數需要用到的exp函數,也在前方提過了按法,是肯定可以算的,但是還是建議你背下來e的值比較實際;喔對了,算這些函數時,請注意它們各自的定義域,否則計算機就顯示error給你看。
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以上反雙曲函數需要用到的自然對數函數也在前面提過了按法,也肯定可以算的。 七、求餘數、最大公因數、絕對值 然後,如果你的計算機有四捨五入(4/5)、CUT(無條件捨去)以及控制小數位數的(F、4、2、1、0、ADD2)功能,恭喜你,你還可以用這個功能算餘數以及兩個數的最大公因數。例如:
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要求A必須大於B,算出餘數R,這裡以A=7845及B=12為例子,按法步驟如下: 先把計算機上的功能撥到CUT以及0的位置,表示整數以下無條件捨去 7845 M+(把被除數放進MR儲存) ÷ 12 =(計算商,此時商只會顯示653,0.75被捨去了) × 12 M-(把這個整數商乘以除數,其結果就會是這個除數的小於等於被除數的最大倍數,M-的功用就是讓原本儲存在MR裡的被除數減去這個最接近的倍數) MR (再按一下MR,就是餘數了) 所以總結步驟如下: A是被除數,B是除數 把計算機撥到CUT及0的位置 A M+ ÷ B = × B M- MR 有了算餘數的方法,就可以開始算兩個整數的最大公因數,這裡使用了古人的智慧結晶-輾轉相除法:
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例如,我們要算5688及264的最大公因數,首先根據步驟先算5688 mod 264,可以算出來此時的餘數為144,也就是上方的r0,然後再根據gcd(b,r0),算264 mod 144,也就是120,也就是上方的r1,然後再根據gcd(r0,r1),算144 mod 120,也就是24,也就是上方的r2,然後再根據gcd(r1,r2),算120 mod 24,可以得到餘數為0了,換句話說就表示可以不用繼續做下去了,因為120和24的最大公因數就是24(由於餘數為0),再根據輾轉相除法,5688和264的最大公因數就是120和24的最大公因數。 然後來一個非常廢的功能,就是取絕對值,真的很廢,因為用眼睛看就知道絕對值是多少了,但還是囉嗦一下,假設要求某數a的絕對值,按法步驟如下: a × × = √ (先平方,再開根號) 八、一些按計算機時的小技巧 1、所有的運算鍵(加減乘除)、M+、M-以及等號,只要符合該有的運算元數目都會馬上執行運算,也就是這些按鍵實質上都會附帶計算的功能,什麼意思呢?假設你今天要算1+2+3+...+10的總和然後把這個總和再乘以某一數,你可以不用按完1+2+3+...+10之後按=,而是可以直接按×,繼續運算,這個會應用在哪裡呢?就是上方的例題有提到的
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當你把X的總和運算完成後存在GT,然後你開始算Y總和,這時候你如果把Y加總之後按下等號,這樣就完蛋了,GT這時候就變成X的總和加上Y的總和了,不是我們要的結果,所以這時候利用這個小技巧,讓×鍵代替=去運算,直接乘上GT就好了。 2、當你在K值模式時,也就是螢幕上有個K字樣,此時你可以利用按下別的運算符號,來離開K值運算模式。 3、事實上,從上方所有的按法中,你可以觀察到,一般計算機(具有GT、MR功能的計算機)是具有3個地方的儲存器的,分別是螢幕、GT、MR,所以理論上,執行運算時搭配第1點的小技巧,然後把你的固定數存放到GT以及MR裡面,可以算類似以下情形的運算,例如: 一元二次方程的兩根分別為a和b,你可以把a存入GT並把b存入MR,然後你就可以計算兩根之和a+b以及兩根之積ab、以及其他的運算如3a+b、根號(ab)(也就是幾何平均)、a^3b^2、5a+3b等,而不需要重新按a及b,步驟如下: a =(a存入GT) b M+(b存入) C(清除螢幕) GT + MR + (計算a+b,最後一個+和等號的功能相當,當然你可以選擇你偏愛的運算符號) C(清除螢幕) GT × MR × (計算ab,最後一個×和等號的功能相當,當然你可以選擇你偏愛的運算符號) C(清除螢幕) 3 × GT + MR + (計算3a+b,最後一個+和等號的功能相當,當然你可以選擇你偏愛的運算符號) C(清除螢幕) GT × MR × √ (計算根號(ab),倒數第二個×和等號的功能相當,當然你可以選擇你偏愛的運算符號) C(清除螢幕) GT × GT × GT × MR × MR × (計算a^3b^2,最後一個×和等號的功能相當,當然你可以選擇你偏愛的運算符號,可以看到這裡算次方都不能使用等號和M+及M-來運算,否則會影響GT及MR裡暫存的值) C(清除螢幕) 5 × GT + MR + MR + MR + (計算5a+3b,最後一個+和等號的功能相當,當然你可以選擇你偏愛的運算符號,可以看到這裡的3b完全不能用相乘的運算,而是要把乘法拆成連加,否則會影響GT及MR裡暫存的值) 九、關於一般計算機上謎樣的「%」鍵 一般計算機(我這裡強調的是一般非工程型的計算機)上的「%」鍵,大概是大多數人最頭痛的一個按鍵,但是大致上可以簡單區分為下列兩大類: 1、「%」鍵已經作為各式各樣的百分比運算在內的功能鍵。 2、「%」鍵純粹是字面上的百分之多少(0.01x)的意思,不具有任何功能,這樣的「%」鍵在一般計算機很少出現,但卻很常出現在工程計算機上。 所以,各式各樣的運算在不同計算機上就會有很大的差異,最佳做法還是參考各類計算機的說明書(這邊只是簡單說明一下差別,請參考說明書,有誤導的話請糾正我): 1、計算A打幾折(B%)、計算某數A的百分之多少(B%)
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第一大類的按法: A × B % 第二大類的按法: A × B % 2、計算A是B的百分之多少、計算B的百分之多少等於A、計算A/B換算成百分比
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第一大類的按法: A ÷ B % 第二大類的按法: A ÷ B % 3、計算A加上本身的B%是多少
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第一大類的按法: A × B % + (大部分casio一般計算機) A + B % (其他一般計算機) 第二大類的按法: A × B % + A = 4、計算A減去本身的B%是多少
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第一大類的按法: A × B % - (大部分casio一般計算機) A - B % (其他一般計算機) 第二大類的按法: A × B % M- A M+ MR 5、計算B變成A時相對於原來的B其百分比變化率為多少
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第一大類的按法: A - B % 第二大類的按法: A - B ÷ B × 10000 % 6、計算多少(X)減去本身的B%後為A
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第一大類的按法: A + B % 第二大類的按法: 1 - B % = C A ÷ GT = 綜合以上說明,若是手邊沒有說明書又對「%」鍵很陌生,還是建議大家用0.01這種思維模式來做計算會比較好XD 十、按計算機時你必須注意到的小細節 1、為何要強調「一次到底只用計算機而不准用手抄下任何數字再輸入做接下來的運算」 因為計算機內部有位置能儲存數值,但螢幕上礙於空間有限,因此後面的幾個小數位數的精度我們是看不到的,所以螢幕上的數值和實際儲存在計算機內部的數值「可能」不盡相同,例如當你用的計算機是只能顯示8位數的計算機,然後你用上述的方法計算e尤拉數的值儲存在計算機內的可能是2.7182818128459,但是螢幕上只能顯示8位數,於是你用手抄下2.7182818,這樣一來一往就差了0.0000000128459了,更不用說接下來的運算會越差越大,所以盡量能不用手抄下數字再運算就不要,請善用GT和MR的功能。 此篇文章會不定期更新,謝謝大家。
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