Langlands猜想淺談
國立陽明交通大學 電子工程研究所
同學幾年前介紹給我的Langlands綱領小心得
幫她分享這些酷酷的發展 希望有朝一日能看到Fargues-Scholze的geometrization of local Langlands被證明
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「這是本膚淺的書，卻寫了深刻的事物，對於這些事物作者幾近一無所知。」
關於Langlands的函子性原則
Martin Eichler曾說過：「數學有五種基本運算—加、減、乘、除、模形式。」
Langlands函子性為一系列Langlands猜想與對應的推廣，粗略地說，兩個概約群之L群之間的L同態應會誘導出兩個概約群的自守表示之間的轉移映射。
最簡單的函子性為由GL(1)群到Galois群之類域論的交換互反律，其指出Hecke L函數等於Artin L函數。因此函子性可以說是代數簇或原相之Hasse-Weil zeta函數與Langlands之自守L函數或GL(n)的Godement-Jacquet L函數之間的等價。函子性也導致了一系列L函數的函數方程與亞純延拓。
L函數有幾個標準問題：解析延拓、函數方程、零點與極點的性質(L函數之Taylor級數展開的第一個非零係數表達為由上同調群或K群所給出的不變量，如Riemann猜想、橢圓曲線的BSD猜想、Stark猜想、Tate的代數閉鏈猜想)、係數漸進值的估計、L函數高次方之積分均值的估計。
James Arthur在2013年AMS專論中，證明了準分裂正交群與辛群的內窺分類，與一般線性群連結起來，證明用了Arthur-Selberg跡公式與它的穩定化，以及Moeglin與Waldspurger的扭曲穩定跡公式。在運用了Harris-Taylor之局域Langlands分類、Jacquet-Shalika與Moeglin-Waldsurger對GL(n)自守表示的表述定理，Arthur繞過了假想整體域Langlands群的存在性與建構問題來以歸納法、內窺轉移與穩定跡公式的比較來推論這兩個經典群的內窺分類。Mok對準分裂么正群的內窺分類證明也用了類似Arthur的論證方法。
Arthur的穩定跡公式依賴於基本引理與Langlands-Shelstad轉移，由Ngô利用代數幾何的Hitchin纖維化，連結軌道積分跟特定上同調群以證明。
而在穩定跡公式之前，必須先有不變跡公式，其由非不變跡公式構造出，而最初的非不變跡公式需要有Langlands在1976年之一般概約代數群的Eisenstein級數理論為基礎，包含了一般概約群之二次可積函數空間的連續譜分解與一部分之不連續譜分解、Eisenstein級數之亞純延拓、函數方程、留數定理等。有趣的是，Franke在1998年證明了所有自守形式皆為Eisenstein級數的導數。
著名的數域上GL(n)之局部域Langlands對應由Harris-Taylor, Henniart, Scholze證明，最早的證明使用了Shimura簇的數點方法—Langlands-Kottwitz方法，連結了Grothendieck-Lefschetz跡公式與Arthur-Selberg跡公式，前者將代數簇的固定點數目與軌道積分連結起來，而後者將軌道積分與自守表示的譜資訊連結起來。
函數域上之整體域Langlands對應，GL(n)由Laurent Lafforgue用shtukas的模空間分析證明，而一般概約群的自守至Galois方向由Vincent Lafforgue證明，後者的證明藉由G-shtukas模空間的分類與幾何Langlands的幾何Satake等價，並且未使用Arthur-Selberg跡公式。
許多函子性的情形，如一些自守誘導(e.g. Arthur-Clozel)、基變換提升、(反)對稱冪與張量積提升、朗蘭茲對應(非阿貝爾類域論)、內窺分類、模性(如Fermat最後定理的Taylor-Wiles方法)、內窺之外皆有特殊例子的證明。證明技術有L函數的逆定理、自守下降法、(穩定)跡公式的比較、theta對應、Langlands-Shahidi方法、Whittaker模型的分析與Rankin-Selberg方法等。
Langlands在21世紀初提出了「內窺之外」，試圖利用穩定跡公式研究自守L函數的極點並將其與特定自守表示做連結，來證明內窺理論中無法解決的函子性。
2021年，Laurent Fargues與Peter Scholze將數域上一般概約群局部域Langlands對應用p進Hodge理論、狀似完備空間與模疊上的穩定無窮導出範疇給幾何化，類似許多幾何Langlands的技術，並證明了一種推廣的幾何Satake等價性，且提出了進一步關於Whittaker層的幾何化猜想。
Langlands函子性隱含了Artin的L函數猜想、推廣的Ramanujan猜想(蘊含了自守形式的Ramanujan猜想與Maass形式的Selberg 1/4猜想)、不連續譜之尖點部分的自守表示譜分解(連續譜分解由Eisenstein級數依照Levi子群給出，而一部分不連續譜分解由Eisenstein級數的留數所給出)、Sato-Tate猜想等。
進一步若有高階代數K理論的新進展，可能對Tamagawa數的Bloch-Kato猜想、Birch-Swinnerton-Dyer猜想、等變玉河數猜想、Lichtenbaum猜想有幫助。
朗蘭茲綱領中公認的最困難且最後的問題為假想整體域(原相)之Langlands群的建構與表述。
