在Lévy processes in finance pricing financial derivatives一書中，作者列出一些股市指數的平均、標準差、偏度和峰度，如果用數學語言就是1階原動差(矩，moment)和2,3,4階主動差。從峰度不是3來看，我們知道股價並非常態分布。有興趣的朋友可以找原書或電子版本來看。
經過對比，人們發現股價波動既不像常態(高斯)分布這麼規矩，也不像柯西分布這麼狂野。
考慮到模型對不同峰度的適用性，萊維的穩定分布(Levy skew alpha-stable distribution)被許多民眾所接受。
畢竟不管是高斯、柯西或股價，我們都可以用不同的α來繪製。
我講得輕鬆，但有人很緊張。
如果價格波動不是常態分布，有很多金融理論都要遭殃了。
請問效率前緣用什麼來畫? 平均和「方差」。
請問期權BS的布朗運動用什麼函數來描述機率密度? 常態分布。
這時候江湖上的人性就顯現出來了。
有的人認為如果打破這個假設，那麼很多金融理論都無法繼續發展。
有的人認為，追求真相總比做出完美模型還重要。(包括Taleb和Mandelbrot等人)
我認為呢，管它怎麼發展，反正看大家辯論就是有趣。
雖然我也常在文章中提到Levy穩定，但本篇既然專講風險分布，那我就不隱瞞了。
我覺得，波動不是穩定分布。
先從尾端特性來說。
所謂肥尾，是比較不嚴謹的說法，實際上它屬於「重尾」的一種。
換句話說，「衰退」速度比指數還慢的，就是重尾。
有許多文章針對此點探討，一篇 Heavy Tailed Distributions in Finance: Reality or Myth? Amateurs Viewpoint 直接點出使用重尾分布的思考缺失。
我們很容易得出波動非常態分布的結論，但是尾端的「比例」和「衰退速度」並沒有直接關聯，因此我們不該直接認定它就是重尾分布。
作者陸續列出一些統計上的不合理性，例如時間段的取值、樣本數量、極值特性...也順便批評了其它如雙曲分布的缺點。
他的結論比較接近「混合式」的常態分佈或「Gamma分布」。
同一個作者，之後又寫了篇 No Stable Distributions in Finance, please!
簡單來說，當樣本數增加時，柯西分布和高斯分布的尾端變化不一樣。
因此如果要使用這類分布模型，α的值和樣本數n有關。
如果對應的α不穩定，我們就不能叫這類模型「穩定」分布了。
我不禁好奇，如果有學者宣稱某模型不合理，它是否能提出解決方案?
是創造一種新的分布函數，還是在既有的模型上修改，或是退回早期的領域重新研究?
也許參考歷史上的辯論，以及思考模型和現實世界的關聯，能幫助我們更清楚學界流派的演變。
例如，剛剛不是有人提到柯西分布嗎?
The Distribution of Returns 一文，作者比較了不同算法對不同模型的差異，也提到了柯西分布。
考量到了現實世界中的因素，它也探討了股價、殖利率和競標等情境。
不過，我覺得整篇最吸引人的，是作者提及馬可維茲、Mandelbrot、Fama、French等人，並指出一些金融模型的缺陷。
或許大家看完文章還是沒答案，但我想這類梳理可以讓我們至少知道，學術界發生了什麼。
