首先，股票價格確實有可能突破天際，但幾乎不可能變成負數，所以股價可以有非常高的預期報酬。
然而，並非每個人都完全跟隨股價漲跌，所以投資人各自拿到的「報酬」，有可能變成負的。
我認為從價格特性去推論股東報酬分布，是不嚴謹的思路。
再者，我判斷書中股東報酬分布的型態，應該是YP的自行猜測。
雖然我喜歡結論本身，但是在書中我並沒有看到「證據」。
因此我也想知道，偏態圖形到底來自哪篇文獻，或是哪些原始數據。
還有一點，YP在相關文章提到用均值、中位數和眾數來判斷偏態。
他認為「正偏態表示平均數大於中位數(中間的位置)與眾數(隨機取樣最可能的結果)」，但此定義有誤。
我不從數學角度切入，而是隨手寫了一組「反例」給他，說明正偏態分布中，依然有均值小於中位數的情形。
套用回書中的內容，即使投資人報酬分布是正偏，還是可能讓「多數人都打敗大盤」。
12小時內，YP迅速回信給我。
他證實我的猜測，由於投資人的報酬難以被統計，所以他並沒有充足的文獻和數據來源佐證。
然而YP也認為，正偏態的假設合理。
因為股價的漲跌幅有下限而無上限，所以長期累積下來，投資人的資產有虧損極限，頂多歸零。
他進而推論市場上可能的獲利分布，屬於正偏態。
同時我也得知，基於YP對正偏態的研究，他採取的定義就是「平均數大於中位數」。
而針對我提出的反例，他也使用「離散違規」來描述，並引用文獻Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule.
不過YP也表示，既然反例存在，那原定義就不完美。
另外，雖然對於偏態的定義，會導致指數投資和眾人報酬對比的推論，出現瑕疵，但是我也沒有證據說明，所謂例外會存在於真實世界的報酬。
因此，總體而言，雖然推論過程和定義存在漏洞，但是主要結論依然不變。
還有個好消息，就是他寄了一份勘誤表。
收到這個禮物，我覺得非常開心。
既然如此，我再次回信過去。
我重申定義精確的必要性，尤其是報酬和分布，會涉及到時間長短、大盤或個股、橫截面或時序分析，造成偏態的意義不同。
我提到了選擇權BSM定價模型的log normal, Wealth Creation in the U.S. Public Stock Markets 1926 to 2019, Skewness in Stock Returns: Reconciling the Evidence on Firm Versus Aggregate Returns 和 The Skewness of the Stock Market over Long Horizons.
分別討論考慮短時漲跌合理性的偏態、長時間橫截面對比、時序分析下對於正負偏度的解釋以及時間窗口造成偏度轉負且衰退趨緩的特性。
我也區分上述統計對象，認為不能直接從股價特性推到股東報酬，再推到資產變化。
至於Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule, 確實提到離散違規。
然而文獻中也提到，正偏態下均值小於中位數，包括離散、多峰分布和一邊長尾一邊重尾的分布......等可能。
YP直接把均值和中位數的關係，定義為偏態的方向，不過我自己的學習過程是用三階動差來看待偏態/偏度，所以事實上這兩個定義並不等價。
因此，同一「單峰連續」分布，有可能在兩個定義中分別為正偏和負偏。
我認為推論上，他不能用離散違規來否定我的反駁，況且股價和回報本身，正是被當成連續分布的離散。
對於推論過程，如果YP先假設回報呈現正偏，而且認為假設合理，同時也相信正偏等價於「均值大於中位數」，所以推論出指數投資能戰勝多數人，那就屬於「竊取論點」。
也就是說，如果有人假設回報呈現負偏，那他也可能照樣推出完全相反的結論，而且他也可以說「相信在此假設下，大部分的情況會如期呈現。」
因此，如果今天出現某個作者宣稱，報酬呈現負偏態，而且指數投資輸給大部分的人，那我們也沒有討論的施力點。
同時，我也在想解套方案，在不影響正確性和嚴謹性的前提下，得到簡單有力的結論。
我認為繞過偏態的定義差異，直接描述中位數和均值的關係，也可以達到目的。
或者拿到原始數據，根本不需要用模型和推論工具。
當然在現階段，或許加強合理性和間接證據，會是提升說服力的權宜之計。
