選擇權波動率建模: Dupire到因果

有研究員說最近在看選擇權。 Q quant? 我很久沒有摸的東西了。 (ㄟ不是，我們一般散戶真的有這麼嚴格的neutral要求嗎?) 說個小故事，想當初我上網查「買什麼商品賺比較快」，第一次聽到選擇權，我還誤以為這是什麼人生方向規劃哲學(擁有選擇的權利)。後來越看越神奇，只知道call的風險有限、獲利無限，也沒人跟我說put call parity, 亂七八糟。不過也因為這樣，讓我知道沒有理論是完美的，而且總要準備推翻既有信仰。

理財板

狂徒

21/10/16

新手學習選擇權的五個步驟

「狂徒，我要怎麼學習選擇權？」朋友問我。他問錯人了，因為我也是新手，況且我一向不鼓勵交易。不過，如果僅探討工具層面，似乎還在我的能力範圍內。因此，本篇會「主觀」推薦學習順序。如果哪裡說錯了，歡迎指正。

❝ 引用的文章

Anyway, 今天就來淺談roadmap. 保證不標準、不專業，而且可能比較跳躍。如果哪裡寫錯了，也請不吝踢館。

那就從Dupire開始吧。有次我在after party酒吧和金融業者聊天，他們是做選擇權的機構。我問: 你這波動率是用什麼模型? (這是我對選擇權的交易者的標準搭訕法) 他說: Dupire. Dupire，本來只是我腦中角落封塵的一個詞，我聽了一瞬間覺得它有點古老。於是我問他對其它local vol模型的看法，以及對它們的改進。結果他連演都不演，直接跟我說他們和Bruno Dupire合作，用特化版的，但他自己不知道具體細節，邀請我下周去他們公司聚會。我意識到，市場上賺錢的不一定要是最準、最先進的模型，也可以是能召集夠大、信任你的AUM，提供抽租來源。回去後，我又研究了一番，決定抽出一支理論發展脈絡，當作遊記。 Dupire經典(1994)，但有很多傳統假設需要滿足，像是連續、夠平滑、夠正則(C¹’²類可微)、靜態無套利，這樣反推的局部變異數才可能會非負有限。你可以對一個Ito過程，建構限定好的一維Markov投影，也就是local vol函數。而參考Gyongy Theorem，當係數滿足Lipschitz成長、drift給定，則「保證」能構造出和原Ito相同邊際分配的S，且Dupire下的波動率只和SDE狀態、價格表面有關。因此你找出一個local vol diffusion，吻合所有Euro vanilla(也就是非exotic)表面上的價格。

問題是，雖然你會希望用夠Euro的smile surface來擬合, 但一旦遇到路徑相依或美式、百慕達(定價很依賴smile dynamic)，就很可能失真。妳知道標準答案，陸續試了不同的「主流」模型，包括隨機和jump家族。框架部分，妳也嘗試用Dupire自己的後續版本functional Ito calculus, 以及包括deep hedging的工具。不過，我今天要講另一條路。

想像一下，時間來到2010年代，妳手中有一組SPX的價格表面，或者更誠實的說，只是一組離散的OTM strike vs maturity網格。妳擔心亂內插會讓波動率曲面(Breeden-Litzenberger轉成風險中性的機率分布表面)太尖或震盪，又不想押注local vol或Heston(隨機波動家族)，以及一些Levy based的jump. 單一模型都有缺點，但妳一旦放棄，反而會面對更大的守門Boss. 在沒有單一基準測度的多模型世界裡，機率、可測性、對沖和定價的標準語言都開始不夠用，你會遇到non-dominated models和mutually singular measures等問題要處理。

那怎麼辦? Dupire大禮包過期了，你決定先逛逛robust finance新手村，發現有三個平行陣營。第一個是「數學家」思維陣營。你用到Choquet的capacitability定理，將「事件有多大」寫成一個容量，確保這些醜陋的set, 在容量「精確邊界」意義下可被逼近。不過，妳覺得同夥的G-世界太完美了，它的非線性PDE體系需要非常平滑的拓樸條件和常數波動率上下界支撐。而在真實市場中，價格會jump，波動率也有隨機邊界，所以要將這些武器應用在實際市場的難度高。

於是，你轉頭去看「工程師」陣營。妳知道，一旦開始取supremum、對未來狀態投影，很多集合就不再Borelian可測。所以為了保證最壞情況下的值函數可測，也為了繼續跑線性規劃，妳可以使用Souslin的analytic sets(1917年證明Borel可測集的投影可能不是Borel可測集，20出頭年紀推翻數學家勒貝格1905年的說法，而老師Luzin等人利用超限和二進位的具體推導過程在1923年)，以及upper semianalytic函數(Bertsekas & Shreve, 用負lower可推導對偶，在取sup和Borel kernel積分下封閉，且自動泛可測)。

你透過quasi-sure分析，把所有模型都不覺得可能發生的P(𝒫)-polar sets排除，定義出安全的邊界。而要把模型融合成quasi-sure的通用版本，本質就是aggregation(聚合)問題，有些人會用格論(lattice STZ 2011)和medial limit來統一各版本，以及用Jankov–von Neumann可測選擇等方法選擇核或耦合。這樣一來，「最優耦合」不僅存在，而且真的能可測的被選出來。實戰上，在STZ和2BSDE框架下，妳可以利用非線性Doob-Meyer分解和optional分解定理，把未知的價格軌跡，拆解出最差狀況下的對沖成本。

逛了一圈，妳覺得工程輾壓太暴力了。揮別那些繁複的計算，妳又走向第三個「交易員」陣營。要維持robust，妳想到了MOT(Martingale Optimal Transport, 鞅最優傳輸)，把妳從需要建構連續時間動態的限制中解放出來。妳確保跨到期的邊際滿足peacock(PCOC, Processus Croissant pour l'Ordre Convexe, 隨到期遞增的convex order)，讓可行集合非空，如同Strassen's Theorem(1965), Kellerer's Theorem(1972)強調的。(建議使用Google翻譯。) 則在幾乎model free的條件下，妳可以算出理論價格的「區間」。

而更有指導意義的，參考Hobson、Beiglbock–Henry-Labordère–Penkner和Dolinsky–Soner, 實際操作上有個martingale Kantorovich dual問題，讓妳可以組合手中既有的vanilla，加上動態交易標的，構造出robust的sub/super semi靜態對沖。這下子，你盯著手中的exotic，不管是barrier, forward start還是各類Asian，價格上下界都有希望算出來。

至此，數學家陣營重寫語言，工程師陣營補上工具地基，交易員陣營則用MOT，把這個多模型新手村轉換成可計算的價格區間。妳也總算消滅了前面那隻non dominated的守門boss. 妳背起行囊繼續往前走，突然覺得有點不對勁。妳說: 「狂徒，等一下。」這是身為一個desk quant的務實擔憂。 MOT是很靈活，但是資訊集過小，導致bounds常常很寬，而且數值不穩定，這種等級的B/A spreads根本交易不了。況且，最優的martingale coupling常常是尖銳解，mass transport很不平滑，典型例子就包含left-curtain coupling. 畢竟MOT本質上是一個無限維度的線性規劃問題，因此離散化後，解很常落在可行多面體的vertices上，這會很singular(變成狄拉克函數)或「退化」。具體下場就是Greeks不穩、校準也難。就算不理數學理論，也假設你server上放夠多乖乖，光是Greeks算不好，就會造成實際交易的麻煩。你是算出結果了，但風控部門在你身後很火大，連基本delta的對沖比例都難抓。

你尋思，Dupire太死，MOT又太活。要解決這個問題，我們來到了2020年代。為了在所有martingale coupling中，找出一個最接近某先驗參考測度的傳輸計畫，有人把統計力學的entropic regularization搬過來套用。妳引入相對熵(KL散度)為懲罰項，把剛剛說的太尖銳的點「磨平」到參考測度附近(I projection），而其中最優路徑測度可用Follmer drift來描述。

於是神奇的事情發生了，妳把離散化後退化的線性規劃問題，磨成嚴格/強凸優化，這讓解變得平滑、對輸入參數更可能可微，同時妳也可以做像是掛上adjoint自動微分(AAD)、隱微分等ML工具的敏感度測試。在用上Sinkhorn類演算法和GPU的矩陣平行運算(而不是CPU的線性規劃)之後，速度可以有非常大的提升。而這個神奇的、底層數學和量子力學(就是那隻貓)互為imaginary time twins(Wick rotation意義下)的量化金融工具，就叫做martingale Schrodinger bridge(薛丁格的橋)。

面對SB(薛丁格橋)的離散、靜態版本，妳依照需求選定折衷的entropy鞅最優傳輸(EMOT). 如果ε很小，則接近嚴格約束，更robust、更尖銳、但解更難算，也更不穩。而若ε很大，則解更平滑、更穩、更可微，但也更會受到先驗和正則化bias的影響。依此，妳只要調整溫度參數ε，就可以在泛用度、靈活度和速度之間取捨。若再使用gamma-convergence和equicoercivity，則可確保這座橋的極限會收斂回原本固定版本的MOT最低點。

「狂徒，我終於能對波動率建模了。」終於闖過薛丁格橋的妳，抽著菸，嘴角露出笑意。不過妳也沒笑多久，因為時間很快來到了2021年1月，GameStop(GME)遭遇到了short squeeze和gamma squeeze. 某一刻開始，散戶long call, dealer要相應short call，結果手中累積一堆負gamma. 為了維持delta中性，spot上漲時，dealer又被迫追高買入股票，進一步推高價格。這時delta繼續變化，dealer就被迫買更多...如此endogenous循環。換句話說，這時的避險行為，反而讓整個機制加速。也許沒人真正懂這個機制，但你是個一路闖關的亡命狂徒。為了讓邪惡勢力向你低頭，所以你開始調動各種工具嘗試。妳繼續踏上征途，又看到四條路。面對「罕見性」，妳蒐集奇技祕法，處理極端特殊狀況。妳可以用Large deviations principle(LDP)刻劃漸近架構下罕見事件機率的對數漸近，也可以對i.i.d.樣本的經驗測度用Sanov theorem描述偏離母群體的機率，或將有限維分布的LDP用Dawson Gartner, 提升成函數空間來描述整條價格路徑的偏差。不過，即使得出以上機率，也不保證包含資訊的交易可行性。

你轉頭看著「互動性」，祭出了多人法陣，想了解眾人的互動模式。你將整個市場當成大型mean field games(MFG), 用master equation描述散戶和dealers的策略均衡結構，或在common-noise(B⁰)存在時用McKean-Vlasov動態描述交易者狀態。進一步的，你也可以用major-minor MFG(Nourian-Caines 2013控制論, Carmona-Zhu 2016機率論)來更貼近市場。妳可能要出動Lions derivative對付Wasserstein空間上e.g.(𝒫₂(Rᵈ), W₂)的函數測度變數，這下子妳能描述群體策略的均衡。然而擺在眼前的問題，是妳依然對dynamic coupling的束手無策。

妳來到「連鎖性」關卡，使用多重疊印，將波動行為拆成模式複加。妳知道時間上，jump導致jump(Hawkes自激發過程), vol帶來vol(clustering). 妳也發現若在Hoover–Keisler式的飽和框架和精確大數法則(LLN)之下，不同類型交易者的idiosyncratic risk應該在聚合中彼此抵消，但實際上妳還是要面對連鎖「傳染」。耦合必須尊重時間因果(non-anticipative), 所以即使妳解決事件群聚、調和時間箭頭，還是需要考量filtration和資訊流向。

最後，你對「反身性」開刀，畢竟你學會了幻影分身，能分飾當事人和觀察者。 Vol endogeneity和自我循環機制難不倒你，可是你意識到，光是交易者的行為，就會影響整個vol曲面。也就是說，這兩者之間有「因果性」。實務上，Nicolas等人觀察到，SP500 IV受到put買壓推動，但個股IV卻受call買壓驅動，而這中間就有套利空間。理論上，Marcel Nutz等人在Guyon–Lekeufack volatility 2/4因子模型基礎上, 也用報酬和波動率的指數核(長短期記憶)來耦合過程。你是能描述calibration和hedging的feedback loop，可惜，邊際條件本身「內生」，你不寫入「資訊流」就不穩定。

雖然你湊齊一些武器，但把遇到的障礙統整後，你發現真正的菁英boss是filtration-respecting admissibility. 更嚴謹的說，就算無嚴格定義下的因果關聯，妳交易也不該「偷看未來」。傳統OT和非因果EMOT都允許anticipative的跨時空coupling, 所以遇到美式等能提早行使或barrier, lookback等路徑依賴商品時，這種數學框架會產生脫離現實世界的避險和套利策略。畢竟你在市場上的每一秒，都只能利用當下的已知資訊。於是下一步策略，你想改寫admissible transport plan的定義本身。為了解決時間作弊，學者將研究方向放到因果調整的最優傳輸(causal adapted OT). 其核心技術，是要求所有定價路徑的傳輸計畫，都被約束在bicausal coupling中。不過數學上一旦這麼做，傳統的距離測度會變得不自然。所以，要定義有資訊filtered processes的距離，妳開始借用隨機分析和傳輸最優化的名詞，也就是adapted Wasserstein(或nested)距離。妳量化兩個隨機過程的差異，並企圖將此空間「幾何化」。

「狂徒，怎麼做?」目前並無標準答案，但我可以告訴妳，學者先鋒們有哪些嘗試，以尊重時間方向性(filtration consistency). 看著手上已有的定義，也許你想在這個空間裡「移動」和「計算」。因此，為了確保平順、穩定、不亂跳的移動，妳在過濾結構上研究絕對連續曲線。而兩個模型或分布間，這個在經典Wasserstein space中的最短變形移動路徑，就叫做測地線。

如果你將整個過程視為動態控制問題，並且僅依照當下資訊逐步連續移動，可以採用adapted Benamou–Brenier公式(數值解轉為Eulerian動態描述). 在可行的分布曲線和速度場之下，最小化一路的動能，這有助於你計算微分和幾何化。

而如果妳的思路是先走一步、再想第二步(類似時間離散決策樹)，那可以使用針對弱拓樸的Knothe-Rosenblatt重排。這種工具把分層下的所有可能都依序攤開，也避免妳跳時間配對，以求存在性和近似序列，你也能拓樸化。

BB和KR兩者雖然哲學不同，但可以相輔相成。同時，另一派的人認為，與其追蹤價格本身，不如改用Knight預測過程(strong Markov)來記錄當下「資訊對未來的條件機率分布」的演化。

好，計算性過關，但你怎麼知道解存在又可測? 接下來，你要證明無套利鞅約束的可行集合是exist和tight(甚至用Prokhorov推relative compactness)，否則電腦可能會發散算到爆。你可以試著用Skorokhod type表示法，將一串只在分布上收斂的隨機物件，放到同一個機率空間內，讓它們幾乎處處(a.s.)真收斂，包括Poisson.

現在存在性有了，妳也可以證明，雙重對偶對應到的superhedging是否依然成立。 Worst case下的定價，能等於理論中無摩擦對沖的成本，至少也不要留有對偶縫隙，這樣妳才能把數學轉換換成金融語言。

或者，你想起那個背後火大的風控部門，決定研究偏向應用層面的輸出穩定性和穩健性。在報價噪音和模型擾動下，理論上下界是否連續(甚至Lipschitz)，極限是否滿足adapted或martingale約束，關乎Greeks和風險傳遞的合理性。此時傳統的weak convergence大概不夠用，要上更嚴格的semimartingale(Emery) topology，或是比Skorokhod更弱的、允許軌跡跳躍、更能處理compactness(在cadlag下)的pseudo-path(Meyer-Zheng) topology.

這下子，計算性、存在性、對偶性、穩定性都有了，那前面的SB能套用到這個因果框架嗎？假設妳都證明完畢，那進一步的，如果我們把上一段提到的SB當作「對adapted martingale measures集合的Kullback-Leibler(I divergence)投影」，這個投影算子是否收斂? 是否穩定? 是否依然可微? 也許，你該玩玩能隨機停止的Aldous或Hellwig的adapted(例如extended weak)topology了。

看起來，因果這隻大Boss也不是無敵，或許總有一天人類能真正擊敗它。這時候，你隱隱看到Boss身後還有至少五條叉路，依然等著你去探險。不過好消息是，你也不是手無寸鐵。弱解之路，你把SDE寫成Stroock–Varadhan martingale problem, 在典型路徑空間上找出一個機率測度，讓canonical process滿足某generator對應的martingale.

一般性之路，你鎖定semimartingale(允許jump), 用Jacod–Shiryaev的semimartingale characteristics(B, C, ν三元組)描述。

唯一性之路，PDE沒有古典解，但你有viscosity comparison principle.

資訊結構，如果filtration有PRP(predictable representation property)，則每個F-local鞅都可寫成某組基本鞅的隨機積分。

非完備對沖，你的目光停在Follmer–Schweizer分解上，local risk minimization策略中，把平方可積的claim，分解成交易本身，以及價格martingale部分強正交的殘差。

你想先走哪一條? 放下菸，一個問題，後面是一百個問題。你說，解決了一堆麻煩之後，還是無法落地執行。妳說，寫了一堆自己都不知道答案的問題，有什麼意義?

妳想著這就是人生，and you wake up in the morning and your head feels twice the size. Where you gonna go?

Well, researcher有自己的美感，dev有對於環節性能的堅持，trader有最速一條龍的習慣。怎樣找到共通語言，是在journals還是GitHub上找答案，是在labs還是Kaggle吸引人，對於獲利來說比學術推導還重要。我不保證有人知道答案(事實上據我所知很多領域都還在摸索中)，但換一個角度，這就是研究之美。妳真的想要具體細節，自己去找paper就好了，我這篇文章也不是academia review. 你會因為不知道怎麼EDA，就不在電腦中安裝晶片嗎? 妳會因為不知道怎麼推導狹義相對論和Sagnac效應，就不用GPS導航嗎? 真的功利的說，就把這些文獻當成學者在互相signaling吧。對於未知領域，更重要的是培養自己的求知taste. 我平時講話模式，就是甩出hook去看可不可以串到什麼支點。妳先知道自己的知識邊界，然後去掌握對方的知識節點和模糊地帶，才知道怎麼fit這些結構。當然，你可以嫌棄我說的這些東西都太open，但換個角度想，一對一的談話之下，會有當下獨一無二的知識動態拓樸(因為妳在問的過程中就在釋放訊號)，這不也是一種名片? 跨領域的混搭，有時候沒有對錯可言，但可以讓體驗更精采。想起有一次我聽到翁立友〈我問天〉，我腦中自動響起伍佰〈突然的自我〉，因為key, chord cycle都很像。還有一次我在夢中聽Seven nation army和Sweet dreams, 結果自己插入一段江蕙〈無人熟識〉副歌。我醒了，也笑了，走到鋼琴旁，把前奏旋律彈出來檢查，發現真的可以混音。

解構世界，隨自己的心情mashup，掀開琴蓋實驗, 不好玩嗎? 附錄: Inspired by 陶哲軒的Freiman-Ruzsa猜想、Peter Scholze的液態向量空間, Kevin Buzzard的費馬大定理... 我也聯合AI和Lean 4, 試圖嚴謹形式化數學的證明雙因果OT的Bellman遞歸，做到Zero sorry, Zero axiom. 中途順便打穿了Jankov von Neumann 的uniformization一部分，即mathlib庫之外的無人帶。如果妳也欣賞「暴力美學」，不妨看看以下證明，如何結合工業化的機械步驟和模組化的多線推進。

參考文獻: 總文獻庫有563篇，我放在以下網址。

本文主要引用的有約50篇，我直接放這。 [1] Dupire, B. (1994). Pricing with a smile. Risk, 7(1), 18–20. [2] Gyöngy, I. (1986). Mimicking the one-dimensional marginal distributions of processes having an ito differential. Probability Theory and Related Fields, 71(4), 501-516.

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