極座標平面上,兩曲線r^2=2cosθ即r=2+2cosθ有三個交點,它們是原點及(r,θ)=?

我用極座標作圖可以畫出他的交點
可是我把那個點帶進去r始終不一樣
也就是r跟θ沒有關聯.....
於是我把r令y,θ令x
畫出來的圖形沒有交點....
這讓我非常的頭痛
這題到底有沒有答案啊???

共 55 則回應

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沒有交點…
你有沒有打錯?還是題目出錯了…0.0
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極座標的圖有交點
我有兩張圖
一張是令x=θ ,y=r
這是沒有交點的
-----------------我是分隔線--------------------------------------------------
可是用繪圖軟體畫極座標會變成一個心臟線跟一個長 ∞這樣的圖形
這樣就有三個交點了
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x=θ ,y=r....= =
這樣令有什麼差嗎?
他還是極座標圖啊...

如果你是想換成直角座標的話應該是
x=r*cosθ
y=r*sinθ


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哦哦心臟線~
傳說歷史上有個阿宅(笛卡兒?)裡用這個追悼公主(?)哦!!
對不起我偏題了XD
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我說令x=θ ,y=r
就是直接把r=2+2cosθ代到r^2=2cosθ
這樣畫出來的圖是一個尖尖的拱包裹一個很像菱形又不是菱形的東西
然後之間沒有交點
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圍觀火星文~~:D!!(?
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一看就知道你的問題出在哪 但是礙於Dcard不能打方程式 我懶得說明XD
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To政治大學 國際經營與貿易學系 女同學
我們去旁邊畫圈圈吧~~乖XD"
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成功大學 水利及海洋工程學研究所 男同學
可以私訊我嗎ˊ_>ˋ
我想好久了
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你的問題在於把r、θ代換成X、Y後不能拿這個XY來作圖
舉個例子:單位圓的極座標r=1
照你的做法就變成X=1這條直線
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極座標求交點還是要畫圖,原因是因為同樣的(x,y)座標對應到(r,θ)座標會不唯一…0.0
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>>淡江大學 水資源及環境工程學系 男同學
我覺得你沒懂我的意思
變數令成什麼都沒差 他只是一個變數
你的變數變換是1:1的換過去跟沒換一樣 只是換個名字
原本的圖長怎樣換過去就還是會怎樣
只是原本應該是極座標圖的你的程式把座標點標在直角座標上 所以變得很怪

你要畫在直角座標就要換成直角座標的形式啊...
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TO陽明大學 牙醫學系 男同學
就像中央大學 數學系 男同學說的,焦點不唯一...可是我用winplot畫出來的圖確實是三個點...
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TO交通大學 機械工程學研究所 男同學
所以不能直接這樣代進去就對了??
那用極座標打圖畫出來之後交點不唯一怎麼辦呢??
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如果沒畫錯的話 不唯一就不唯一啊...
你的問題是什麼XD
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這題我暫時想不到要怎麼用極座標的方法解,畢竟上次碰數學是很久以前的微積分了ˊˋ
用直角坐標土法煉鋼的話差不多是這樣

還有你開頭就說有三個交點了,當然不唯一啊
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極座標換成直角座標請代

x=rCosθ

y=rSinθ
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PO了才發現第一行的sin寫錯...
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Post images
這是極座標的圖


Post images
這是我改用直接座標畫的圖

一個有解一個無解
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你真的知道什麼是極座標嗎= =
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對不起,請原諒我數學不好 ˊˋ

我想問說為什麼原點會是交點呢?


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To陽明大學 牙醫學系 男同學
極座標圖錯了嗎Q__Q?
To交通大學 電子工程學系 男同學
我有放圖ㄝ你可以看看...第一個網址
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To淡江大學 水資源及環境工程學系 男同學
第一個圖的那三個焦點就是題目所求


至於第二個圖......跟題目無關
重複陽明大學 牙醫學系 男同學的話
你真的知道什麼是極座標嗎= =
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>淡江大學 水資源及環境工程學系 男同學
極座標圖沒錯,但是不能這樣轉直角坐標
下面有人說了 x=r cosθ, y=r sinθ
我想到的另一個例子是如果你把r令x,θ令y,就會得到不一樣的圖

>交通大學 電子工程學系 男同學
第一條代cosθ=0,第二條代cosθ=-1
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原點是交點有什麼問題嗎XD

不過微積分好久遠
交點對於兩條線的解是不是不一樣啊?
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To成功大學 物理學研究所 男同學
摁....我知道極座標= ="
所以那個解不唯一
兩個點可是有4組解
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綠色的圖...怎麼畫出來的啊?
在2,3象限時COSθ不是都為負嗎?
負數開跟應該為虛數,要怎麼和-r對應?
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恩,我剛剛忽略了原點的無方向性,感恩.
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To交通大學 電子工程學系 男同學
r^2=2cosθ
r有2次方可以負號也會消掉所以可以畫左邊的圖
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1.綠色的圖不應該存在,因為r=(x^2+y^2)^(1/2),r必須大於等於零

2.應該只有一個交點,就是原點
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推廣交通大學 電子工程學系 男同學的話
根據極坐標的定義r是恆大於零的
所以把r^2=2cosθ開根號時取正號,θ取1.4象限,也就是藍色的曲線
綠色的曲線應該是(不知道原題目瞎猜的><)r^2=-2cosθ開根號,θ取3.4象限
所以我們中央大學 數學系 男同學一樣在懷疑題目有錯
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打錯了,r^2=-2cosθ開根號,θ取2.3象限才對
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所以大家得意思是r不能為負值???
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抱歉,我一開始也是直接解共同的(r,θ),所以才會得到無解…0.0
已沒碰微積分許久,都快忘記了…QQ

一般來說,許多教科書都沒有規定r一定要是非負,而是定義r<0表示往反向走|r|單位的距離。
所以平常就要盡量定義r²=x²+y²,而不要定義成r=√(x²+y²)。
(當然在不同領域,定義的方式可能會改變。)
因此另一邊的圖是可行的,兩個圖形還是三個交點。
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你好,我是臺大開膛手
看到長得像心臟的曲線著實讓我興奮而躍躍欲試
一顆心撲通撲通地亂跳需要有宣洩的出口
那麼請讓我為你切割這一道題目吧

樓主的盲點在於極座標上的點是否只有單一表示方式
當然這個答案是否定的
舉例而言,原點(0,0)因為不具方向性還可以寫成(0,π/3)、(0,-π/3)等等無限多種形式
不僅如此,就算不是原點,例如(1,2π/3)還可以表示成(1,8π/3)、(-1,-π/3)等等無限多種形式
於是乎我們可以想見,對應到極座標上同一點的座標在兩個不同的方程式上表示的形式可能不一樣
因此直接硬解它很有可能會無解

為了解決因為座標表示方法不同的問題,我們必須先將剖開極座標研究之後得到一個結論
在極座標上代表同一位置的點有幾種可能
1.若r不變,僅θ位移2π的倍數,則仍為同一點
2.若r變為-r,而θ與原角度相差π。即θ所得的方位對稱原點,而r方向與原方向相反,則負負得正,仍為同一點(當然此時再將該角度位移2π倍數仍然為同一點)
又觀察這道題目的的形式發現θ都存在cosθ當中
為了去除2π位移造成運算上的麻煩,即產生相同位置的狀況1,使用cosθ可以簡化許多
另外考慮產生相同位置的狀況2,利用cos(θ+π)=-cosθ的性質,將情況簡化
首先令r=x,cosθ=y
因此發現(x,y)的情況與(-x,-y)的情況,所代表的極座標位置相同

回到題目本身,它其實沒有被打錯也沒有問題
並且基於上述理由,我們可以將題目劃開成兩種情況
1.兩條曲線在r的正負值相同的情況相交,則交點的情況有唯一解(x,y)
2.兩曲線在r的正負值不同的情況下相交,則交點的情況則分別是(x,y)與(-x,-y)
狀況1可列出x^2=2y , x=2+2y,發現無解
狀況2可列出x^2=2y , -x=2+2(-y),得(x,y)=(-1,1/2),又y=cosθ=1/2,即θ可分別在一、四象限與x軸夾π/3,故有兩點
所以r^2=2cosθ和r=2+2cosθ的三組交點應該是原點、(1,-2π/3)、(1,-4π/3),在這邊我把r都換成正值

把迷思部份解決清楚
(1,-2π/3)為r=2+2cosθ的解,而(-1,5π/3)為r^2=2cosθ的解,兩者為同一點
(1,-4π/3)為r=2+2cosθ的解,而(-1,π/3)為r^2=2cosθ的解,兩者為同一點
當然因為角度都可以位移2π倍數的關係,所以這個極座標其實有無限多種表示形式啦

以上是我對這個題目的理解,享用它其實頗有樂趣,這個夜晚真是越來越亢奮了呵呵呵呵
回答僅供樓主參考
如果在下思考有問題的話也可以再討論
謝謝
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樓下太強大了!!!!!
根本崇拜
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臺灣大學 牙醫學系 男同學 太強大了...
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................完全看不懂= =
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To臺灣大學 牙醫學系 男同學
我對你的景仰現在有如滔滔江水綿延而不絕阿= ="""

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To淡江大學 歷史學系 女同學
沒關係....妳不會想懂得~哈哈哈
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>>臺灣大學 牙醫學系男同學
我對你的景仰現在有如滔滔江水綿延而不絕阿+1

一整個好強大阿!
我覺得牙醫系跟微積分貌似打不著關係耶.哈哈..
還是說理科跟醫科的微積分都是必學阿
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難道在治療病人牙齒的時候還要說

哦,妳這顆牙齒的座標在X,Y的交界處
可能要用什麼方程式來解嗎

實在太好笑了

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To東海大學 歷史學系 女同學
現在台灣牙醫飽和,隨時可能失業
預備微積分準備轉行當補習班老師XD""
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話說,我今天下午要去看牙醫
希望牙醫溫柔一點QQ
對牙醫很有恐懼感...
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不會啦~~~除了洗牙的時候痛到流眼淚其他都還好= ="
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To臺大開膛手
r^2=2cosθ的解
角度部分好像都少寫一個負號
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最佳解答太威猛了
我喜歡數學好的男生>////<
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>>東海大學 歷史學學系 女同學
微積分算是臺大醫學院大一的共同必修課,不過難度偏易甚至比管院、社科院一些科系如經濟、資管、國貿等學的還簡單
但其實還是有很多同學不喜歡它
之後確實也不太會用到,頂多大二上普物、生統的時候多少會看到一點點
另外關於檢查牙齒時是否需要方程式解它這個問題,可以簡單回答一下
以牙齒命名系統之一FDI系統為例
牙齒在口腔中的位置確實有分四個象限
雖然不是用x,y等等去運算,但還是有類似座標的命名系統
以恆牙來說,頂多也32顆而已
並且這不過就僅僅是命名方便而已,基本上不需要解方程式也不需要微積分

>>淡江大學 水資源及環境工程學系 男同學
理工方面其實僅是在下詭異的興趣之一
並還沒有到專長的地步
不過在下確實想繼續精進,但目的不是為了當補習班老師
可惜時間有點少就是了

>>成功大學 物理學研究所 男同學
真的非常感謝你的糾正
不過在下本來好似想要寫:
(1,2π/3)為r=2+2cosθ的解,而(-1,5π/3)為r^2=2cosθ的解,兩者為同一點
(1,4π/3)為r=2+2cosθ的解,而(-1,π/3)為r^2=2cosθ的解,兩者為同一點
可能因為當時興奮過頭,在寫答案的時候交點的角度都多一個負號,之後將錯就錯就一起錯了
沒有檢查真是在下的失誤
非常抱歉

by 臺大開膛手
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現在的學弟真是越來越有才華了XD

很完美的解法,但是
"
(1,-2π/3)為r=2+2cosθ的解,而(-1,5π/3)為r^2=2cosθ的解,兩者為同一點
(1,-4π/3)為r=2+2cosθ的解,而(-1,π/3)為r^2=2cosθ的解,兩者為同一點 "

這部分似乎寫反了XD

這題難在兩方程式成立時θ角會不同阿!!
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原來已經釘正了~當我沒說過
回應...