這次的題目是台大微甲100年上學期的期末考~~
題目是這題~~

他有解答
可是我不懂為什麼要把區間切成無限到1和1到0
然後接下來我也不知道怎麼做
所以卡住了...

我資質好像真的不太好
最近真的有點沒信心(大哭)

共 23 則回應

因為有指數的關係:1~無限大和0~1之間會有兩種數值變化
也就是說:1~無限大時,指數會越來越大成正相關,0~1時數值反而會越來越小呈負相關
這個微積分課本應該常常出現類似的題目,這兩種情況要考慮

有數學觀念的問題可以跟我討論~雖然我不是數學系的但應該可以給你一些方向參考^^

By 台科拉拉熊
嗚恩
我還在努力理解詳解中..
improper integral

我猜應該是
B3 yayyy...
不過應該不用這麼麻煩

你看 x^p * exp(-x^2) 當 p是 odd時候 這是一個奇函數
p是 even 是一個偶函數

然後把區域放大到 -inf 到 inf!! (它就變成了常態函數的p階動差 類似Normal(0,1))
的pdf)
應該是 p 為偶數是會收斂!!

odd 時後就得用 improper integral 來看
看到這題我會想要把x代換成sinθ耶 然後這樣積分範圍就會替換掉
樓上 要換也是換 tan 換sin的畫 是沒有辦法對應的
個人建議 轉成 Normal pdf 的 p階動差 來看 偶數就容易了解決了!!!!

奇數就做範圍拆解!

我是沒有嘗試過不然你可以try 看看 極座標轉換 or let y=x^2 變成 gamma function!
我自己動手算了一下 let y=x^2 轉 gamma function 一切就都解決了!!!

答案驗證可以去以下網址

開膛手大哥!我等你!
召喚開膛手啊啊啊啊啊
exp(-x^2)的積分必然是收斂的
發散問題來自
1.x很大時x^p很大(p>0時會發生)
2.x很接近0時x^p很大(p<=-1時會發生)

我只檢查可能發散的地方
對1的情況只檢查x>=1
對2的情況只檢查0=<x<1
這可能就是妳問的 為什麼解答都分0~1,1~無限兩塊 其實妳要切0~100,100~無限應該也沒差

1.p>0時:題目的積分小於x^p*exp(-x)的積分(理由是在x>1,exp(-x^2)收斂的比exp(-x)更快)
而p>0時x^p*exp(-x)是收斂的(理由是指數的變小遠比冪次方增長還快 不然妳也可以google積分表 wiki 看一下指數的積分表 算一下就知道)
所以p>0時積分是收斂的

2.p<=-1時:題目的積分一定大於0.367x^p的積分(exp(-1)為最小值約0.367)
而0.367x^p本身就發散 因此題目的積分一定發散

所以我認為p>-1時積分收斂 p<=-1積分發散
另外妳也可以查一下gamma function裡面的公式應該是可以用來算這題 礙於我不太熟special function就不獻醜了
另外提一下 我用這招叫做夾擠定理 妳想證一個東西收斂 就找一個比這個東西大的東西(而且好算的) 證明他收斂
想證明發散 就找個更小的證明他發散
在下覺得這題的解答已經寫得很清楚了
所以你還是自己仔細看看吧(好吧,我承認我懶,不像開膛手那樣有耐心XD
分成兩個範圍的原因,其實你繼續把解答讀下去就知道了
解答的討論中,這兩個範圍的收斂的p範圍不同
你必須分開討論才能知道最general的p的範圍

至於第二小題嘛
做個變數變換再integral by part就可以解出來了
應該自己可以看得懂

By成大怪人伽利略
B13的同學
你對於發散的用語太"物理系"了啦XD
雖然我平常的說法也差不多,哈哈XD
不過我覺得的於初次接觸微積分的同學來講
還是尊重一下數學系的語言比較好
這樣觀念會比較扎實^_^

By成大怪人伽利略
不會壓 物理系厲害!!

這裡有每屆期中期末考的詳解啊
可以看看官方解法
妳好,在下是臺大開膛手
關於這個問題實在是難以用簡單幾句話解釋過去
為了幫助切割,在下先料理好一部分的構造是樓主可能需要的
接下來這是樓主希望看到的重頭戲
第一部分切割
第二部分切割
另外請不要隨便因為題目解不出來而灰心喪志
這些問題只要多練習就會了
如果可以的話盡量和妳的強者同學們討論,比起自學應該會很有幫助,而且比較有方向,當然考古題也是很重要的
至少在下以一個沒修過微甲普物甲的經驗想要如此建議妳
另外在下一開始也是非常厭惡肢解屍體,不過最近有一種開釋熟能生巧的感覺
所以多練習,盡量別只想著看詳解,先自己動手想看看,真的不管什麼方法都試過弄不出來再投降吧,這樣的印象會很深刻
不過話說回來,在下要被期末考反嗜了,在下也很希望可以召喚一個彈簧腿之類的來拯救在下
恐怕要見光死了,萬惡的黎明還在等在下唔唔

>>B8 清華大學 統計學研究所 男同學
Gamma function在下略知一二而已
有問題還希望閣下幫忙指證

>>B14 臺灣大學 物理學研究所 男同學
這一招的正式名稱不叫夾擠定理,是comparison theorem for integral
不過不影響解答,題外話可以不用理在下
哈哈 對於 Gamma function 就是 積分 0 到 無限大 x^(p-1)exp(-x) = G(p)

是來自於 機率分配的 gamma 分配

那G( . ) 所擁有的性質是這樣, G(p) , P 必須是正數

如果 p 是整數的話 G(p)=p! (!是階程)

若不是整數的 G(p+1)=pG(p)

G(1/2)=pi (pi=3.14xxxxx 圓周率)
謝謝大家
尤其是開膛手先生 激勵人心啊Q_______Q
加油...剛考完期末...覺得我明年會再來一次QQ
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馬上回應搶第 24 樓...