Dcard

因為有指數的關係：1~無限大和0~1之間會有兩種數值變化

也就是說：1~無限大時，指數會越來越大成正相關，0~1時數值反而會越來越小呈負相關

這個微積分課本應該常常出現類似的題目，這兩種情況要考慮

有數學觀念的問題可以跟我討論~雖然我不是數學系的但應該可以給你一些方向參考^^

By 台科拉拉熊

嗚恩

我還在努力理解詳解中..

improper integral

我猜應該是

不過應該不用這麼麻煩

你看 x^p * exp(-x^2) 當 p是 odd時候 這是一個奇函數

p是 even 是一個偶函數

然後把區域放大到 -inf 到 inf!! (它就變成了常態函數的p階動差 類似Normal(0,1))

的pdf)

應該是 p 為偶數是會收斂!!

odd 時後就得用 improper integral 來看

看到這題我會想要把x代換成sinθ耶 然後這樣積分範圍就會替換掉

樓上 要換也是換 tan 換sin的畫 是沒有辦法對應的

個人建議 轉成 Normal pdf 的 p階動差 來看 偶數就容易了解決了!!!!

奇數就做範圍拆解!

我是沒有嘗試過不然你可以try 看看 極座標轉換 or let y=x^2 變成 gamma function!

我自己動手算了一下 let y=x^2 轉 gamma function 一切就都解決了!!!

答案驗證可以去以下網址

開膛手大哥!我等你!

召喚開膛手啊啊啊啊啊

ㄜ

exp(-x^2)的積分必然是收斂的

發散問題來自

1.x很大時x^p很大(p>0時會發生)

2.x很接近0時x^p很大(p<=-1時會發生)

我只檢查可能發散的地方

對1的情況只檢查x>=1

對2的情況只檢查0=<x<1

這可能就是妳問的 為什麼解答都分0~1,1~無限兩塊 其實妳要切0~100,100~無限應該也沒差

1.p>0時:題目的積分小於x^p*exp(-x)的積分(理由是在x>1,exp(-x^2)收斂的比exp(-x)更快)

而p>0時x^p*exp(-x)是收斂的(理由是指數的變小遠比冪次方增長還快 不然妳也可以google積分表 wiki 看一下指數的積分表 算一下就知道)

所以p>0時積分是收斂的

2.p<=-1時:題目的積分一定大於0.367x^p的積分(exp(-1)為最小值約0.367)

而0.367x^p本身就發散 因此題目的積分一定發散

所以我認為p>-1時積分收斂 p<=-1積分發散

另外妳也可以查一下gamma function裡面的公式應該是可以用來算這題 礙於我不太熟special function就不獻醜了

另外提一下 我用這招叫做夾擠定理 妳想證一個東西收斂 就找一個比這個東西大的東西(而且好算的) 證明他收斂

想證明發散 就找個更小的證明他發散

在下覺得這題的解答已經寫得很清楚了

所以你還是自己仔細看看吧（好吧，我承認我懶，不像開膛手那樣有耐心XD

分成兩個範圍的原因，其實你繼續把解答讀下去就知道了

解答的討論中，這兩個範圍的收斂的p範圍不同

你必須分開討論才能知道最general的p的範圍

至於第二小題嘛

做個變數變換再integral by part就可以解出來了

應該自己可以看得懂

By成大怪人伽利略

你對於發散的用語太"物理系"了啦XD

雖然我平常的說法也差不多，哈哈XD

不過我覺得的於初次接觸微積分的同學來講

還是尊重一下數學系的語言比較好

這樣觀念會比較扎實^_^

By成大怪人伽利略

不會壓 物理系厲害!!

這裡有每屆期中期末考的詳解啊

可以看看官方解法

妳好，在下是臺大開膛手

關於這個問題實在是難以用簡單幾句話解釋過去

為了幫助切割，在下先料理好一部分的構造是樓主可能需要的

接下來這是樓主希望看到的重頭戲

第一部分切割

第二部分切割

另外請不要隨便因為題目解不出來而灰心喪志

這些問題只要多練習就會了

如果可以的話盡量和妳的強者同學們討論，比起自學應該會很有幫助，而且比較有方向，當然考古題也是很重要的

至少在下以一個沒修過微甲普物甲的經驗想要如此建議妳

另外在下一開始也是非常厭惡肢解屍體，不過最近有一種開釋熟能生巧的感覺

所以多練習，盡量別只想著看詳解，先自己動手想看看，真的不管什麼方法都試過弄不出來再投降吧，這樣的印象會很深刻

不過話說回來，在下要被期末考反嗜了，在下也很希望可以召喚一個彈簧腿之類的來拯救在下

恐怕要見光死了，萬惡的黎明還在等在下唔唔

Gamma function在下略知一二而已

有問題還希望閣下幫忙指證

這一招的正式名稱不叫夾擠定理，是comparison theorem for integral

不過不影響解答，題外話可以不用理在下

哈哈 對於 Gamma function 就是 積分 0 到 無限大 x^(p-1)exp(-x) = G(p)

是來自於 機率分配的 gamma 分配

那G( . ) 所擁有的性質是這樣, G(p) , P 必須是正數

如果 p 是整數的話 G(p)=p! (!是階程)

若不是整數的 G(p+1)=pG(p)

G(1/2)=pi (pi=3.14xxxxx 圓周率)

謝謝大家

尤其是開膛手先生 激勵人心啊Q_______Q

加油...剛考完期末...覺得我明年會再來一次QQ