今天下課時,學生跑來問我一題機率題,聽完題目一整個冒冷汗(老弟你別這樣對待數學白癡啊)
只好跟他說,我回去想想,下禮拜再跟你說....

但我數學一直都很爛,排組機更爛,我真的解不出來了啦
我連C怎麼用都忘光光了,更別說P了

不知是不是物以類聚,我朋友數學也都滿慘的
所以我只好上來求助各位大大

進入正題:

13個六面骰,其中2面塗黑,其餘4面為白色。然後進行擲骰

求:
(1)黑色面朝上1個~13個的機率
(2)黑色面朝上之期望值

若現在進行擲骰子時,黑色面朝上不足3個,則再進行一次擲骰。
結果無論多少,皆不再重骰,並將此次結果與前次結果相加。
而首次擲骰黑色面朝上大於等於4個,則不再進行第2次擲骰。

求:
(1)黑色面朝上2個~15個的機率
(2)黑色面朝上之期望值

希望可以解釋一下算法跟原理,先跟各位說聲謝謝了

共 19 則回應

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2-1的題目應該是0個~15個機率
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求:
(1)黑色面朝上1個~13個的機率
1個就(1/3)*(2/3)^12在同排乘13!/12!
2個就((1/3)^2)*((2/3)^11)在同排乘13!/(11!*2!)
依此類推

(2)黑色面朝上之期望值
剛剛算的各個機率乘點數

若現在進行擲骰子時,黑色面朝上不足3個,則再進行一次擲骰。
結果無論多少,皆不再重骰,並將此次結果與前次結果相加。
而首次擲骰黑色面朝上大於等於4個,則不再進行第2次擲骰。

求:
(1)黑色面朝上2個~15個的機率
2個就兩次試驗都擲一個
3個就擲到兩個、擲到一個再同排
4個就兩個兩個或一個三個再同排
依此類推
(2)黑色面朝上之期望值
機率乘點數
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看到這題目真的都跪下來了...
1-(1)不知道是不是這樣算
對於骰1個黑面朝上
一個骰子骰黑面的機率是1/3 所以應該是(C13取1)*(1/3)*(2/3)^12
也就是(取一個骰子)*(骰黑色機率)*(剩下的都骰白色)
所以對於n個的話
應該就是(C13取n)*(1/3)*(2/3)^(13-n)吧
期望值感覺很複雜阿...
不知道5年完全沒有碰過的東西現在還記不記得= =
原PO加油
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B2 你可以把期望值解釋得更清楚嗎QQ
不太懂阿~
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期望值就平均值阿=_=
阿就累加點數*機率...
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B4 期望值為加權平均數, 故常以另外一種符號表示, 即平均數ux=E(X) ; 參考 統計學
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我知道點數*機率是他的期望值
所以說如果要骰2個面是黑色的期望值
就也要分別把點數加起來=2~12分開來算囉@@?
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第一大題如 B2 所說。

第二大題就用第一大題的答案來算就好。
先假設第一大題中,擲出n個黑色的機率是 An,
想法是:
要擲出 n 個,有3種可能:
1. 第一次就擲到n個。 機率是An.
2. 第一次先擲到1個,第二次再擲到n-1個,最後相加得到n個。 機率是 A1 x (An-1).
3. 第一次先擲到2個,第二次再擲到n-2個,最後相加得到n個。 機率是 A2 x (An-2).
這3種可能加起來就是全部的機率。

因此第二大題的擲法,要擲出n 個黑色的機率 Bn=An+ A1 x (An-1) + A2 x (An-2).
(須注意 B1B2 中,第1種可能不能計算,因為要重擲。)

例如 擲出6個黑色的機率 B6 就等於 A6(第一次就擲出6個的機率) + A1(第一次擲出1個) x A5(第二次再擲出5個) + A2(第一次擲出2個) x A4(第二次再擲出4個)。
=> B6 = A6 + A1xA5 + A2xA4。
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B4 期望值的意義是,你執行一次這個事件,期望得到的結果。
這個期望的結果就會是,當你執行無限多次,平均下來得到的值。

舉例來說,如果某一種特別的賭博,它的期望值是+200元,
也就是你每賭一次,你期望就是贏200元。
或是說,你賭無限多次之後,平均下來你每次就是贏200元。
(因此外面賭場要訂賠率,一定會讓期望值是你輸,你賭越多次,就會越接近賭場訂的期望值。見好就收吧XD)

以本題來說,期望值就是每骰一次,你期望得到的黑色數量。
你擲無限多次之後,平均下來你每次就會是這麼多顆。
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那期望值是要怎麼應用呢?
就是當你知道擲一次的期望值,你就可以計算你要幾次才能得到你要的總和。

以剛剛第1個賭博的例子來說,
你知道賭一次期望值是贏200,你就可以算出,如果你要贏5000元,你就是要賭25次。
或是以本題的例子,如果骰一次的期望值是7顆黑色。(我沒算,隨便假設的)
那麼你要得到35顆黑色,就是要擲5次。

當然機率這種東西,就是參考用的,不是必定會發生。
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B8 不要用Bn一直tag我們啦>///<
話說是不是有四種
1. 第一次就擲到n個。 機率是An.
2. 第一次先擲到1個,第二次再擲到n-1個,最後相加得到n個。 機率是 A1 x (An-1).
3. 第一次先擲到2個,第二次再擲到n-2個,最後相加得到n個。 機率是 A2 x (An-2).
4. 第一次先擲到3個,第二次再擲到n-3個,最後相加得到n個。 機率是 A3 x (An-3).
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B9 喔喔喔 我懂了 所以其實跟他點數沒關係嘛...
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B10 我po出去才發現我tag了好幾次哈哈。

話說我才發現題目有問題。
不足3個是 <3 要重骰。
大於等於4個 ≧4 不重骰。

那剛好3個要怎麼辦(⊙o⊙)

如果3個也要重骰,那就如 B10 說的有四種。
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B11 它2面塗黑,4面塗白,上面的點數應該就看不到了哈哈。
整個題目一直跟骰子點數沒關係。(骰子是騙人的,其實就是個立方塊)
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<題1>

(1)所求 = 全部 - (0個黑朝上) =全部 - (全白) = 1 - (2/3)^13
(2)E = (1/3)*13

<題2>
題目敘述 第一次不足3重擲 與 第一次大於4重擲(這地方好怪)
我直接把它看成不足3就重擲了

(1)所求 = 全部 - (經2次之0個黑朝上) - (經2次之1黑朝上)
= 全部 - (第1次0黑上*第二次0黑上) - (第1次0黑上*第2次1黑上+第1次1黑上*第2次0黑上)
= 全部 - (2/3)^13 - (2/3)^13*(2/3)^13 - 2[C(13,1)*(1/3)(2/3)^12]

(2)所求 = E + (擲第2次之機率)*E //因為之後兩次會相加,故第一次擲出比三小可算入期望值內
= E + (0黑上+1黑上+2黑上)*E
= (1/3)*13 + [(2/3)^13 + C(13,1)(1/3)(2/3)^12 + C(13,2)(1/3)^2*(2/3)^11] * (1/3)*13

我的想法是這樣 我不知道對不對 很久沒算了
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B12 我誤會你啦,我以為不足是<=,我中文不好~"~
照這樣說剛好三個得怎麼辦勒??
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看完 B13 的才驚覺,對齁,還有0個黑朝上的可能,都忘了它了哈哈。

所以第二大題,n個黑朝上的可能性應該是:
1、第1次n個。(n≧4)
2、第1次0個,第2次n個。
3、第1次1個,第2次n-1個。 (n≧1)
4、第1次2個,第2次n-2個。 (n≧2)
5、第1次3個,第2次n-3個。 (n≧3) (如果第一次3個要重骰的話)

然後 B13 把題目的"黑色面朝上1個~13個的機率",理解成"骰一次,黑色出現的個數是1個~13個的機率"。
而我認為原po要問的是"黑色面朝上1個的機率~黑色面朝上13個的機率,個別是多少",看原po到底要問什麼。
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然後期望值的算法,可以用 B2 說的"各個黑色出現個數x機率" 相加,
也可以用 B13 說的想法去算:
第一大題=> "骰1個的期望值是 1/3,乘以骰13顆"。也就是 (1/3) x 13。
第二大題=> "骰1次的期望值是 E,現在可以骰1次+一定機率骰第2次。也就是 E+(骰第2次機率)xE。

B2 & B13 兩種算法的答案會是一樣的。
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ヾ(*´∀`*)ノ
中文系路過((來亂的

數學好的人真的好羨慕>"<
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各種問號
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Post images

我只算得出第一部分,第二部分一整個炸了
是說第二部分的機率總和應該不會是100%吧?

(我也看不懂樓上們...)
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B0 我認為題1的(1)要問的應該是同時擲13個出現1~13個黑的機率
如果是的話那就是用 1- (0個黑朝上) 的機率就好了
那如果是要分開的話 我覺得很像在罰寫...就會需要真的全部列出來
你可能要和學生確認一下他是問哪種?
馬上回應搶第 20 樓...
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