這啥鬼啊@@
這是真的嗎~在下是物理系數學不太好~
請教數學系的這個有瑕疵嗎@[email protected]
好違反直觀啊!!!

先前聽過一句話 做弦論的都不是人啊!!!

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21
雖然在下不是數學系背景,但大概可以簡單解釋一下
單問瑕疵的話,其實瑕疵非常多
因為這些推論在數學上非常不嚴謹,沒有依據甚至違背最初的定義,甚至連數學家已經不太相信的直觀性都沒有......

要解釋問題出在哪裡,那就必須從Σ(k=1~k→∞)的定義開始說起
這裡提及的Σ是大家高中,以及大學初微中使用的傳統定義
假定一個數列<An>,並令Sn為此數列前n項之和
則Σ(n=1~n→∞)An=lim(n→∞)Sn
因此按照極限定義處理,馬上就可以證明1+2+3+4+5+......→∞

接下來一步一步看看這些步驟的瑕疵在哪裡

首先是影片中的S1=1-1+1-1+1-1+......=???
就按照前面所述的傳統求和定義,S1絕對不會等於1/2
利用ε-δ極限定義很容易證明這件事,甚至可以聲稱它是發散級數,因為不存在任何一個數使得它滿足定義
但是影片中提到了一句話:「如果你加到任何一個地方停下來。如果你在一個奇數停下來,你得到的結果是1;反之,則是0。那如果我們一直一直這樣加下去,會得到什麼結果?我們說不好,所以我們用平均數的方法來求解,答案是0.5。」
這句話已經暗示了,這不是傳統求和法,那它是什麼呢?
答案是Cesàro summation,這在數學上是有定義的
σ=lim(n→∞)(S1+S2+S3+......+Sn)/n
從它的定義來看,可以視作求和在任何一項停下來的機率都相等,所以可以視為一種期望值的概念,還滿貼近影片中的說法的
這裡不說太多Cesàro summation的複雜證明,簡單提一下它的性質就好
如果一數列利用傳統求和方式可以得到無窮級數值為s,則此數列的Cesàro sum必存在,且其值亦為s
但有些傳統求和無法求得的無窮級數,Cesàro summation也可以處理
1-1+1-1+1-1+1-1+......=1/2 (C,1)
就是個不錯的例子
S1有瑕疵的地方大概就是沒有說明清楚是利用哪種求和法

接下來是S2處的瑕疵
在數學上,在假設未知數以便操作之前,必須先證明此未知數「存在」,不然有可能會得到謬論
因為假設未知數其實已經把它視做一個數字處理,倘若它不是一個數字呢?那其實就代表後續的操作都是無效的
影片中直接假設S2存在其實很不嚴謹
經過在下試驗之後,S2除了不只無法以傳統求和得值,亦無法以Cesàro summation得值 ( 正確來說是(C,1)發散,但(C,2)是可以收斂到1/4啦,如果在下沒算錯的話 )
接著說說除了沒有先證明存在以外的瑕疵──錯位相加
或許直覺上錯位相加非常合理,反正實數有結合率和交換率,位置怎麼換應該都沒有關係吧?
只能說不完全正確
這裡我想提及傳統求和法中有條件收斂和絕對收斂的概念
有些級數是絕對收斂,就跟一般人的認知一樣,如1+1/2+1/4+1/8+......=2,這個極限值無論怎麼重排級數中的任一項都不會變
但有些級數卻是條件收斂,這個極限值會根據重排的形式而改變,例如:
1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+......
1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+......
這兩個級數值會不一樣,但是上式有的項下式也會有,下式有的項上式也會有
事實上,條件收斂的級數是可以重排使之收斂至「任意」實數的
如果令上式收斂至s,下式收斂至t,並能接受將兩式錯位相減時可以得到0=t-s≠0
矛盾,顯然錯位相減在傳統求合法上不能被接受,在其他求和法上能被接受嗎?這在下暫時存疑,但應該可以證明
所以當初在下接觸到條件收斂時真的非常的疑惑,如果對於實數有結合率和交換率,那把同樣的東西加起來,怎麼會因為順序而得到不同的結果?這似乎明顯違背直覺
幾經思考後,這牽扯到當初定義無窮及數時本身就已經把相加的順序代入
Σ(n=1~n→∞)An=lim(n→∞)Sn
注意到Σ(n=1~n→∞)An會是S1, S2, S3, S4, ......逐漸逼近的那個數,這隱含的意思就是按照數列順序相加 ( S2=S1+A2, S3=S2+A3, ......Sn=Sn-1+An ) 再取極限
而極限定義是以有窮度無窮,若兩者Sn不同,極限值當然有可能不同
亦即這個全部並不是真的全部相加,而是利用極限直觀上的逼近。就如同一個函數,f(a)和lim(x→a)f(x)是可以不一樣的,只不過今天a不是個數字,是一個被稱為無窮大的概念
若你問有沒有什麼方法可以不透過極限直接得到f(∞),我只能告訴你數學上有兩派,一派是實無窮 ( 把無窮大當作數字 ),一派是虛無窮 ( 認為無窮大只是個概念不是數字 ),實無窮那一派或許有某些定義,但很遺憾在下真的不知道
回歸正題,S2=1-2+3-4+5-6+......=???
既然傳統求合法和Cesàro summation皆無法求其極限,那在數學上有沒有其他的求和法能治它呢?
有,答案是Abel's summation formula
若一無窮級數是A1+A2+A3+A4+A5+......,Abel's summation formula會將它寫成A1+A2x+A3x^2+A4x^3+A5x^4+......,並且令x→1得到答案
直接用影片中那個很神奇的級數做例子
1-1+1-1+1-1+.....→1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+......
突然之間發現後面那個無窮多項式莫名的眼熟,高中好像就會解了,微積分好像也出現過
不就是無窮等比級數嗎?當然有前提,在-1<-x<1的情況下,可以將1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+......=1/(1+x)
此時令x→1-,就很開心地得到1-1+1-1+1-1+......=1/2,很湊巧和Cesàro summation的結果一樣
而1-2+3-4+5-6+......→1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+......
那這個式子要怎麼求解呢?和之前的無窮等比級數相比......次方提出次方減一......咦?這不是微分嗎?
(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+......)'=[1/(1+x)]'
整理之後,得1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+......=1/(1+x)^2
同樣令x→1-,得1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+......=1/4
至於這個求和法的直觀意義嘛......大概就是f(1)≠lim(x→1-)f(x)。由於f(1)無定義,於是自己利用lim(x→1-)f(x)當定義......更直觀的解釋在下也做不出來了,跪請高人

最後,就是魔王S=1+2+3+4+5+......=???
他所犯的瑕疵和上述的S2差不多......
嘛......傳統求和法無解,Cesàro summation無解,Abel's summation formula無解......不信自己試試看......
它用的方式是黎曼zeta函數,可惜在下只知道最基本的ζ(x)=1/1^x+1/2^x+1/3^x+1/4^x+......
在定義域x>1的情況都滿好理解的,然而S=ζ(-1)=-1/12
在下實在對此函數不熟,沒辦法多做解釋了
附帶一提,此函數和質數之間的關聯性似乎頗大,可以google「黎曼假設」,是尚未得證的千禧年大獎難題之一,有興趣可以參考天下文化出版的質數魔力

另外,這裡提一下B18所附wiki中做出充滿瑕疵推論的那個數學家Ramanujan
被稱為印度之子的鬼才數學家,沒受過正統數學教育
他在15歲時借到一本《純數學摘要》,裡面只有個數學領域中的一堆定理,完全沒有證明
他也是頗厲害的,就憑自己橫衝直撞理解了裡面的公式,當然他的理解是「純粹直觀」
16歲藉著數學考上大學,但英文太爛使他很快結束大學生涯,所以仍然沒有受過太多嚴謹的訓練
然而他也是很不屈不撓持續在數學界打滾,26歲時經人介紹寫信給英國數學家Hardy,並附上一堆沒有經過證明的詭異公式
Hardy認為他還沒被嚴謹的數學思維框住,覺得他很有創造性,於是便和他合作
「他的數學知識之窄,就像他對某些領域所知之深一樣,令人不可理解。……。他不懂得『數學證明』是怎麼回事。不論是新的或舊的,對的或錯的,他的結果都是經由直觀,歸納糾纏不清的『推論』得到的,要他提出合理的解釋說明絕對辦不到。」
「要這樣一個人有系統地從頭學習數學是不可能的,我也怕這樣教會打擊他的信心,使他失去靈感,但另一方面,他總不能對某些數學那麼無知。……。我總得教他點什麼,就某種限制而言,我算教會了他一些東西,但顯然地,我從他那兒學來的要比我教給他的要多得多。
「超人的記憶力,無比的耐心,長於計算,推廣,對公式的特殊感覺,能迅速修正自己的假設,這些因素都促使他成為這方面研究獨一無二的數學家。」
這些是Hardy對Ramanujan的評價,而Ramanujan自己則表示,在他家鄉附近的 Namagiri 女神常把公式託夢給他 (!?),他一起床,就趕忙記下這些公式,並試驗其正確性──他不一定會證明
然而天妒英才,30歲時Ramanujan被病魔纏身,在32歲時不得不回老家養病,隔年就病逝了
所以這不是出自於一個正統數學家之手,依照直觀而不嚴謹的做法的確很容易讓其他數學家將之視為悖論,甚至他還完全超越一般人的直覺
就不要和數學系爭辯了啦,這不是出自同一個體系的東西......

在下個人的看法是,視不同物理情況使用不同的求和法
可能弦論在討論自然數總和的時候意義已經和傳統求和法不同了,當然列式不一樣,結果也不一樣
甚至在該種求和法下,這些級數都存在,而且滿足錯位相加
這樣一來,影片中的不合理就能夠被解決了
數學嚴謹的系統之美是不容置疑的,超然現實卻又建築在現實之上,總有一天會得解的

by 臺大開膛手

共 27 則回應

4
瑕疵多到不知從何說起...可以問一下原PO大學讀哪嗎= =

不過在非傳統的定義下,這的確是真的
1
中央大學 物理系 不過我們的工程數學好像沒教到你所說的瑕疵
謝謝指教
1
B1瑕疵多到不知從何說起是指啥?
0
天啊!好可怕
我要去跟無理數做朋友了
0
還好我只是會計系
高中數學有看過這幾個數列
雖然自然數相加感覺上是正的
不過我們用已知去算未知
不合邏輯很正常
0
B3 就是原則上他做的每一步都是錯的...
0
唬爛沒有極限
0
2
樓上嘆氣的怎麼都沒有解釋?
7
0出現的機率1/2,1出現的機率1/2
所以期望值是0*(1/2)+1*(1/2)=1/2
我想數學系的朋友應該是無法接受以上的觀點吧
但在物理的領域是可以被接受的
舉個例子...
把一條線無限地切一半,數學上可以無限地切一半
實際上物理則會碰到量子化的問題,而無法再切
當你再切的時候,會停留在原本的量子態或跳到旁邊的量子態
2
我的看法是
物理的數學只要能現象就好,不用執著於數學上各種需要考量的小地方
簡化、忽略都是常常在物理課本上看到的東西

所以我在上我們系上應用數學時,常常會覺得很不舒服
充斥著很多在數學上明顯不對的東西阿~~~~

還是數學系的數學比較美麗!!!
0
兩數列錯位相減 ,下面的第N項沒被處理到,他又是個大數
影片中巧妙的忽略了
0
在數學上做運算時都會給他嚴謹的定義,
我們會認為他有違常理是因為已經有了相當的知識與觀念,
就像我們認為1+1=2而不是1+1=3這樣。

在以前數學發展還不夠完備時若得出怪怪的答案也是可以理解的啦XD
0
在數學上做運算時都會給他嚴謹的定義,
我們會認為他有違常理是因為已經有了相當的知識與觀念,
就像我們認為1+1=2而不是1+1=3這樣。

在以前數學發展還不夠完備時若得出怪怪的答案也是可以理解的啦XD
0
在數學上做運算時都會給他嚴謹的定義,
我們會認為他有違常理是因為已經有了相當的知識與觀念,
就像我們認為1+1=2而不是1+1=3這樣。

在以前數學發展還不夠完備時若得出怪怪的答案也是可以理解的啦XD
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在數學上做運算時都會給他嚴謹的定義,
我們會認為他有違常理是因為已經有了相當的知識與觀念,
就像我們認為1+1=2而不是1+1=3這樣。

在以前數學發展還不夠完備時若得出怪怪的答案也是可以理解的啦XD
0
在數學上做運算時都會給他嚴謹的定義,
我們會認為他有違常理是因為已經有了相當的知識與觀念,
就像我們認為1+1=2而不是1+1=3這樣。

在以前數學發展還不夠完備時若得出怪怪的答案也是可以理解的啦XD
1
B1好吧 雖然我不是理論物理學家 我是做超快光的
不過看在你敵意十足的份上 我也來認真一下好了~
照英文WIKI的寫法 這個明似乎是你們數學家自己搞出來的
證法好像也雷同~
3
早就知道數學家和理論物理學家有仇了~
沒想到火藥味這麼十足 哈哈阿 太有趣了!!!
1
今天剛好上實驗課我就拿去問教授
教授算了十分鐘就說 : 好吧
做人不能太鐵齒 既然沒辦法反駁那就要相信他
0
我覺得滿正確的阿
0
B18 那個wiki上寫說那叫「啓發示証明」(heuristic),
意思就是那是錯誤証明,而且實際上1+2+3+⋯=無限大,
除非特別說明定義或是存心想誤導別人,不然1+2+3+⋯=無限大。
21
雖然在下不是數學系背景,但大概可以簡單解釋一下
單問瑕疵的話,其實瑕疵非常多
因為這些推論在數學上非常不嚴謹,沒有依據甚至違背最初的定義,甚至連數學家已經不太相信的直觀性都沒有......

要解釋問題出在哪裡,那就必須從Σ(k=1~k→∞)的定義開始說起
這裡提及的Σ是大家高中,以及大學初微中使用的傳統定義
假定一個數列<An>,並令Sn為此數列前n項之和
則Σ(n=1~n→∞)An=lim(n→∞)Sn
因此按照極限定義處理,馬上就可以證明1+2+3+4+5+......→∞

接下來一步一步看看這些步驟的瑕疵在哪裡

首先是影片中的S1=1-1+1-1+1-1+......=???
就按照前面所述的傳統求和定義,S1絕對不會等於1/2
利用ε-δ極限定義很容易證明這件事,甚至可以聲稱它是發散級數,因為不存在任何一個數使得它滿足定義
但是影片中提到了一句話:「如果你加到任何一個地方停下來。如果你在一個奇數停下來,你得到的結果是1;反之,則是0。那如果我們一直一直這樣加下去,會得到什麼結果?我們說不好,所以我們用平均數的方法來求解,答案是0.5。」
這句話已經暗示了,這不是傳統求和法,那它是什麼呢?
答案是Cesàro summation,這在數學上是有定義的
σ=lim(n→∞)(S1+S2+S3+......+Sn)/n
從它的定義來看,可以視作求和在任何一項停下來的機率都相等,所以可以視為一種期望值的概念,還滿貼近影片中的說法的
這裡不說太多Cesàro summation的複雜證明,簡單提一下它的性質就好
如果一數列利用傳統求和方式可以得到無窮級數值為s,則此數列的Cesàro sum必存在,且其值亦為s
但有些傳統求和無法求得的無窮級數,Cesàro summation也可以處理
1-1+1-1+1-1+1-1+......=1/2 (C,1)
就是個不錯的例子
S1有瑕疵的地方大概就是沒有說明清楚是利用哪種求和法

接下來是S2處的瑕疵
在數學上,在假設未知數以便操作之前,必須先證明此未知數「存在」,不然有可能會得到謬論
因為假設未知數其實已經把它視做一個數字處理,倘若它不是一個數字呢?那其實就代表後續的操作都是無效的
影片中直接假設S2存在其實很不嚴謹
經過在下試驗之後,S2除了不只無法以傳統求和得值,亦無法以Cesàro summation得值 ( 正確來說是(C,1)發散,但(C,2)是可以收斂到1/4啦,如果在下沒算錯的話 )
接著說說除了沒有先證明存在以外的瑕疵──錯位相加
或許直覺上錯位相加非常合理,反正實數有結合率和交換率,位置怎麼換應該都沒有關係吧?
只能說不完全正確
這裡我想提及傳統求和法中有條件收斂和絕對收斂的概念
有些級數是絕對收斂,就跟一般人的認知一樣,如1+1/2+1/4+1/8+......=2,這個極限值無論怎麼重排級數中的任一項都不會變
但有些級數卻是條件收斂,這個極限值會根據重排的形式而改變,例如:
1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+......
1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+......
這兩個級數值會不一樣,但是上式有的項下式也會有,下式有的項上式也會有
事實上,條件收斂的級數是可以重排使之收斂至「任意」實數的
如果令上式收斂至s,下式收斂至t,並能接受將兩式錯位相減時可以得到0=t-s≠0
矛盾,顯然錯位相減在傳統求合法上不能被接受,在其他求和法上能被接受嗎?這在下暫時存疑,但應該可以證明
所以當初在下接觸到條件收斂時真的非常的疑惑,如果對於實數有結合率和交換率,那把同樣的東西加起來,怎麼會因為順序而得到不同的結果?這似乎明顯違背直覺
幾經思考後,這牽扯到當初定義無窮及數時本身就已經把相加的順序代入
Σ(n=1~n→∞)An=lim(n→∞)Sn
注意到Σ(n=1~n→∞)An會是S1, S2, S3, S4, ......逐漸逼近的那個數,這隱含的意思就是按照數列順序相加 ( S2=S1+A2, S3=S2+A3, ......Sn=Sn-1+An ) 再取極限
而極限定義是以有窮度無窮,若兩者Sn不同,極限值當然有可能不同
亦即這個全部並不是真的全部相加,而是利用極限直觀上的逼近。就如同一個函數,f(a)和lim(x→a)f(x)是可以不一樣的,只不過今天a不是個數字,是一個被稱為無窮大的概念
若你問有沒有什麼方法可以不透過極限直接得到f(∞),我只能告訴你數學上有兩派,一派是實無窮 ( 把無窮大當作數字 ),一派是虛無窮 ( 認為無窮大只是個概念不是數字 ),實無窮那一派或許有某些定義,但很遺憾在下真的不知道
回歸正題,S2=1-2+3-4+5-6+......=???
既然傳統求合法和Cesàro summation皆無法求其極限,那在數學上有沒有其他的求和法能治它呢?
有,答案是Abel's summation formula
若一無窮級數是A1+A2+A3+A4+A5+......,Abel's summation formula會將它寫成A1+A2x+A3x^2+A4x^3+A5x^4+......,並且令x→1得到答案
直接用影片中那個很神奇的級數做例子
1-1+1-1+1-1+.....→1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+......
突然之間發現後面那個無窮多項式莫名的眼熟,高中好像就會解了,微積分好像也出現過
不就是無窮等比級數嗎?當然有前提,在-1<-x<1的情況下,可以將1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+......=1/(1+x)
此時令x→1-,就很開心地得到1-1+1-1+1-1+......=1/2,很湊巧和Cesàro summation的結果一樣
而1-2+3-4+5-6+......→1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+......
那這個式子要怎麼求解呢?和之前的無窮等比級數相比......次方提出次方減一......咦?這不是微分嗎?
(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+......)'=[1/(1+x)]'
整理之後,得1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+......=1/(1+x)^2
同樣令x→1-,得1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+......=1/4
至於這個求和法的直觀意義嘛......大概就是f(1)≠lim(x→1-)f(x)。由於f(1)無定義,於是自己利用lim(x→1-)f(x)當定義......更直觀的解釋在下也做不出來了,跪請高人

最後,就是魔王S=1+2+3+4+5+......=???
他所犯的瑕疵和上述的S2差不多......
嘛......傳統求和法無解,Cesàro summation無解,Abel's summation formula無解......不信自己試試看......
它用的方式是黎曼zeta函數,可惜在下只知道最基本的ζ(x)=1/1^x+1/2^x+1/3^x+1/4^x+......
在定義域x>1的情況都滿好理解的,然而S=ζ(-1)=-1/12
在下實在對此函數不熟,沒辦法多做解釋了
附帶一提,此函數和質數之間的關聯性似乎頗大,可以google「黎曼假設」,是尚未得證的千禧年大獎難題之一,有興趣可以參考天下文化出版的質數魔力

另外,這裡提一下B18所附wiki中做出充滿瑕疵推論的那個數學家Ramanujan
被稱為印度之子的鬼才數學家,沒受過正統數學教育
他在15歲時借到一本《純數學摘要》,裡面只有個數學領域中的一堆定理,完全沒有證明
他也是頗厲害的,就憑自己橫衝直撞理解了裡面的公式,當然他的理解是「純粹直觀」
16歲藉著數學考上大學,但英文太爛使他很快結束大學生涯,所以仍然沒有受過太多嚴謹的訓練
然而他也是很不屈不撓持續在數學界打滾,26歲時經人介紹寫信給英國數學家Hardy,並附上一堆沒有經過證明的詭異公式
Hardy認為他還沒被嚴謹的數學思維框住,覺得他很有創造性,於是便和他合作
「他的數學知識之窄,就像他對某些領域所知之深一樣,令人不可理解。……。他不懂得『數學證明』是怎麼回事。不論是新的或舊的,對的或錯的,他的結果都是經由直觀,歸納糾纏不清的『推論』得到的,要他提出合理的解釋說明絕對辦不到。」
「要這樣一個人有系統地從頭學習數學是不可能的,我也怕這樣教會打擊他的信心,使他失去靈感,但另一方面,他總不能對某些數學那麼無知。……。我總得教他點什麼,就某種限制而言,我算教會了他一些東西,但顯然地,我從他那兒學來的要比我教給他的要多得多。
「超人的記憶力,無比的耐心,長於計算,推廣,對公式的特殊感覺,能迅速修正自己的假設,這些因素都促使他成為這方面研究獨一無二的數學家。」
這些是Hardy對Ramanujan的評價,而Ramanujan自己則表示,在他家鄉附近的 Namagiri 女神常把公式託夢給他 (!?),他一起床,就趕忙記下這些公式,並試驗其正確性──他不一定會證明
然而天妒英才,30歲時Ramanujan被病魔纏身,在32歲時不得不回老家養病,隔年就病逝了
所以這不是出自於一個正統數學家之手,依照直觀而不嚴謹的做法的確很容易讓其他數學家將之視為悖論,甚至他還完全超越一般人的直覺
就不要和數學系爭辯了啦,這不是出自同一個體系的東西......

在下個人的看法是,視不同物理情況使用不同的求和法
可能弦論在討論自然數總和的時候意義已經和傳統求和法不同了,當然列式不一樣,結果也不一樣
甚至在該種求和法下,這些級數都存在,而且滿足錯位相加
這樣一來,影片中的不合理就能夠被解決了
數學嚴謹的系統之美是不容置疑的,超然現實卻又建築在現實之上,總有一天會得解的

by 臺大開膛手
6
我去問我們的微積分老師了
順便推一下他可怕的經歷
到以色列去的等級 WOW

2012–2013 希伯來大學耶路撒冷數學系博士後研究
2012–2012 法國高等科學研究院(I.H.E.S)博士後研究
2011–2012 德國波昂馬克斯普朗克研究所 (M.P.I.M.)博士後研究

我擷取一些他回答我的片段:


這裡的"等於"

並不是微積分中學到的"等號":

微積分中學到的

是發散

是不存在的

但你可以賦予新的“等號”

讓Sum (-1)^n "=" 1/2

我們在以前

學到的+

只有有限步可以做

1+2+3+...+n

最多就是有限和

才有意義


是不能做無窮多次的

因此在微積分第一堂課中

我們“定義”

sum a_n 無窮級數和 =lim S_n

其中S_n為a_n的n項部分和

這是微積分中的定義

但有誰規定

sum a_n 無窮級數和必須要

=lim S_n

這當然是一個自然的定義

直覺的想法

所以微積分課這樣定

但sum a_n 可以不用這種方式定義

所以為什麼我們微積分課一直要強調定義

因為微積分的世界

就是看你怎麼去定義所謂的極限

如果你只是去學那個計算的技巧

當然是不可能真正的體會微積分

像你會問說

有什麼差別

或是回答“不就是和”

你就是沒有想清楚

我們怎麼在為幾分鐘

定義無窮級數和

這其實數學系都會教

這發展要看數學史

這類的級數叫發散級數

有其意義

而在討論sum n =-1/12

其實要懂得東西非常多

不是微積分的內容有辦法懂得

定義之間都有些關聯性

有些可以彼此互推

這無法在這裡解釋

有興趣可以到數學系修高等微積分

但不確定是不是所有老師都會在高等微積分中教這個

但我應該會

你要懂這些東西的前提是

你要懂微積分

以你現在的程度

無法弄懂的

看一看就好了啦

除非你想讀數學系XD
0
就跟宇宙一樣啊
當膨脹到一個無限大 就會向下坍塌
3
從上面看到B25後笑死
腦殘到極致後就會是天才了
0
我真的覺得B23好厲害
能不能請你幫我科普一下
Todd函數與黎曼猜想之間的關係?
謝謝🙏
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