國立東華大學

[求助]請教線性代數的題目...

2014年9月12日 12:12
Let A be a real nxn matrix , <Ax , x>≧ 0 for all x in R^n . Show that Au=0 if and only if (A^t)u=0 , where A^t is the transport of A . 想請教一下這題怎麼做, 直觀上,<Ax , x>≧ 0似乎會impies A是對角矩陣, 目前還沒想到「<Ax , x>≧ 0 impies A是對角矩陣」的反例, 但這也只是個人的猜測而已... 如果x取R^n中的標準向量的話, 可以發現A的對角線元素皆非負, 但接下來就不知道還能往哪個方向想了。
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國立臺灣大學 數學系
<Ax , x>≧ 0 並沒有 imply A是對角 應該說不一定是對角 只有說明A是正定 (精確點應該是半正定)矩陣 從這正定得性質下手吧 應該寫的出來 -初心者
原 PO - 國立東華大學
我那本教科書對於positive semidefinite矩陣的定義, 有包含"矩陣A必須是self-adjoint" 但這個題目給的條件只有<Ax,x>≧0 for all x. 如果只有"<Ax,x>≧0 for all x" 可以推導出那些性質呢?
國立臺灣大學 化學工程學系
我的想法架構如下: (1) 已知<Ax,x>=[(Ax)^t]x=(x^t)(A^t)x≧ 0 所以(x^t)(A^t)x是實數 (2) 若(x^t)(A^t)x是實數,A^t是Hermitian矩陣 (3) 若一個矩陣B為Hermitian則有B=B^t的特性 (4) 由(2)和(3)可知道A^t=(A^t)^t=A,因此 Au=0 iff (A^t)u=0
原 PO - 國立東華大學
關於(2)有一些小疑問 : 如果A^t為Hermitian matrix,那麼可推得 (x^t)(A^t)x is real for all x. 但如果已知(x^t)(A^t)x is real for all x 要如何說明A^t為Hermitian matrix呢?
國立臺灣大學
有網友幫忙解答了(熱乎乎很新鮮剛問的)
看不懂的地方可以再問我XD
原 PO - 國立東華大學
謝謝 ^_^
國立臺灣大學 數學系
剛開電腦...正想要PO親筆算式的... 想不到 B5正解了!!! B3 的方向是對的 但是 "(x^t)(A^t)x是實數 A^t是Hermitian矩陣" 這件事情本身並不trivial 需要寫清楚 就對了 B1 很偷懶喔= =+
國立臺灣大學
查了一下,(x^t)(A)x 是實數 imply hermitian 好像要 for all x in "C^n"才會對, 只有for all x in R^n的話暫時沒查到(不過查到的A都是complex matrix, 這題是real不知道會不會因此剛好對了) 不過"A 是 real+symmetric+positive semidefinite"的話,就只要for all x in R^n 就可以分解成B*B^t形式了。