Let A be a real nxn matrix , <Ax , x>≧ 0 for all x in R^n .
Show that Au=0 if and only if (A^t)u=0 , where A^t is the transport of A .

想請教一下這題怎麼做,
直觀上,<Ax , x>≧ 0似乎會impies A是對角矩陣,
目前還沒想到「<Ax , x>≧ 0 impies A是對角矩陣」的反例,
但這也只是個人的猜測而已...

如果x取R^n中的標準向量的話,
可以發現A的對角線元素皆非負,
但接下來就不知道還能往哪個方向想了。

共 8 則回應

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<Ax , x>≧ 0 並沒有 imply A是對角 應該說不一定是對角
只有說明A是正定 (精確點應該是半正定)矩陣
從這正定得性質下手吧 應該寫的出來

-初心者
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我那本教科書對於positive semidefinite矩陣的定義,
有包含"矩陣A必須是self-adjoint"
但這個題目給的條件只有<Ax,x>≧0 for all x.

如果只有"<Ax,x>≧0 for all x"
可以推導出那些性質呢?
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我的想法架構如下:
(1) 已知<Ax,x>=[(Ax)^t]x=(x^t)(A^t)x≧ 0 所以(x^t)(A^t)x是實數
(2) 若(x^t)(A^t)x是實數,A^t是Hermitian矩陣
(3) 若一個矩陣B為Hermitian則有B=B^t的特性
(4) 由(2)和(3)可知道A^t=(A^t)^t=A,因此 Au=0 iff (A^t)u=0
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關於(2)有一些小疑問 :

如果A^t為Hermitian matrix,那麼可推得
(x^t)(A^t)x is real for all x.
但如果已知(x^t)(A^t)x is real for all x
要如何說明A^t為Hermitian matrix呢?
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有網友幫忙解答了(熱乎乎很新鮮剛問的)

看不懂的地方可以再問我XD
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謝謝 ^_^
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剛開電腦...正想要PO親筆算式的...
想不到 B5正解了!!!
B3 的方向是對的
但是 "(x^t)(A^t)x是實數 A^t是Hermitian矩陣"
這件事情本身並不trivial 需要寫清楚 就對了
B1 很偷懶喔= =+
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查了一下,(x^t)(A)x 是實數 imply hermitian 好像要 for all x in "C^n"才會對,
只有for all x in R^n的話暫時沒查到(不過查到的A都是complex matrix, 這題是real不知道會不會因此剛好對了)

不過"A 是 real+symmetric+positive semidefinite"的話,就只要for all x in R^n 就可以分解成B*B^t形式了。
馬上回應搶第 9 樓...
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