線性變換的矩陣表示與秩-零度定理

國立清華大學

前情提要

令 β = {v₁,…,vₙ} 為向量空間 V 的一組基底，γ = {w₁,…,wₘ} 為向量空間 W 的一組基底，T:V→W 是一個線性變換。對於所有 v 屬於 V，v 可以唯一地被寫成基底的線性組合 c₁v₁+…+cₙvₙ，這組係數 (c₁,…,cₙ) 是唯一的，它就是 v 相對於基底 β 的座標，可以用行向量 [c₁ … cₙ]ᵗ 來表示，這個行向量是 v 相對於 β 的座標向量同理，對於所有 w 屬於 W，w 可以唯一地被寫成基底的線性組合 d₁w₁+…+dₘwₘ，這組係數 (d₁,…,dₘ) 是唯一的，它就是 w 相對於基底 γ 的座標，可以用行向量 [d₁ … dₘ]ᵗ 來表示，這個行向量是 w 相對於 γ 的座標向量。而 T(v₁) 屬於 W，它就有相對於 γ 的座標 (a₁₁,…,aₘ₁)，。T(vᵢ) 屬於 W，它就有相對於 γ 的座標 (a₁ᵢ,…,aₘᵢ)。把 v₁ 到 vₙ 的座標向量由左至右依序擺出來，就是 T 相對於 β 和 γ 的矩陣表示 [T]ᵦᵞ≝ a₁₁ a₁₂ … a₁ₙ a₂₁ a₂₂ … a₂ₙ ⠸ ⠸ ⠣ ⠸ aₘ₁ aₘ₂ … aₘₙ 線性變換的矩陣表示 [T]ᵦᵞ 的用處，就在於如果你給 v∈V 相對於基底 β 的座標向量 [v]ᵦ 左邊乘上 [T]ᵦᵞ，你會得到 [T]ᵦᵞ[v]ᵦ=[T(v)]ᵧ，[T(v)]ᵧ 就是 T(v) 相對於基底 γ 的座標向量。來看 Rank Nullity Theorem 用在矩陣上是什麼。你的矩陣是 m×n 的矩陣，它表示著從 n 維空間到 m 維空間的線性變換，沿用前面的記號，兩個空間就分別叫 V 和 W。這個矩陣的 rank，是行空間的維度。什麼是行空間？就是矩陣的行向量線性組合所能得到的那些行向量（有 m 個分量），這些行向量構成一個向量空間。它所對應的，是 T(v₁),…,T(vₙ) 線性組合所能得到的那些向量，構成的向量空間正是 T(V)=R(T)。R(T) 是 W 的子空間，但不一定是整個 W。同理，矩陣的行空間是所有 m×1 的矩陣（也就是所有有 m 個分量的行向量）的向量空間（記作 Fᵐ ）的子空間，但它不一定是整個 Fᵐ 。而所有 n×1 的矩陣（也就是所有有 n 個分量的行向量）的向量空間（記作 Fⁿ），就對應到 V。這告訴我們，矩陣 [T]ᵦᵞ 看作線性變換時，[T]ᵦᵞ:Fⁿ→Fᵐ 就對應到 T:V→W。矩陣的 Range 對應到 Fᵐ 裡面那些矩陣乘上 n×1 向量所有可能的 m×1 向量，也就是矩陣的行向量所有的線性組合，這件事對應到 R(T) 是 W 的子空間。 A 是 m×n 矩陣，b 是 m×1 的行向量，x 是一個未知的 n×1 行向量，Ax=b 這個方程式就在問有沒有一個 Fⁿ 的向量 x 經過線性變換 A:Fⁿ→Fᵐ 會變成 Fᵐ 的向量 b。換言之，A 的 Range 有沒有包括 b？包括的話就有解，不包括的話就沒有解。矩陣的 Kernel 對應到 Fⁿ 裡面那些會被送到 m×1 零向量的行向量，所以矩陣的 Kernel 是 Fⁿ 的子空間，這件事對應到 N(T) 是 V 的子空間。所以，在矩陣上的 Rank Nullity Theorem 是這樣的：對於 m×n 矩陣，它的行空間的維度加上 Kernel 的維度，正好是 n。線性代數裡面有一個定理：向量空間如果有生成集，則這個生成集包含這個空間的一組基底。定義上，矩陣所有的行向量，就是矩陣行空間的生成集。而當中最大的一組線性獨立的向量，正是行空間的一個基底。Rank Nullity Theorem 可以改成以下的敘述：矩陣的行數，扣掉其最大的線性獨立的行數，等於矩陣 Kernel 的維度。再回到 Ax=b 這個方程式，m>n 則代表 b 可能不在 A 的 Range 裡，因為 Rank （=最大的線性獨立的行數）最大只可能是 n（=矩陣的行數），但要確保 Fᵐ 的每個向量都在 A 的 Range 裡，至少要 m 個行向量。矩陣的所有行向量又可能不是線性獨立的，A 的 Rank 小於 n，要有解又更難了。既然說了線性變換的矩陣表示，那對角矩陣對應到什麼線性變換？令 V 是向量空間，T:V→V 是 V 到自己的線性變換。對 V 當中的向量 v，如果存在係數 λ，滿足 T(v)=λv，v 就是 T 的一個特徵向量，λ 是 v 對應的特徵值。如果 V 存在一組基底 {v₁,…,vₙ}，每個 vᵢ 都存在一個 λᵢ 滿足 T(vᵢ)=λᵢvᵢ（換句話說存在一組基底，裡面每個向量都是特徵向量），T 就叫可對角化的，因為 T 相對於這組基底的表示是一個對角矩陣： λ₁ 0 0 … 0 0 λ₂ 0 … 0 0 0 λ₃ … 0 ⠸ ⠸ ⠣ ⠸ 0 0 0 … λₙ 但是 T 在任意的基底下，矩陣表示不一定是對角的。所以一般來說，一個矩陣 A 稱作可對角化的，如果存在一組基底，利用這組基底構造出來的基底變換矩陣 Q，讓 QAQ⁻¹ 是對角矩陣。可對角化的情形，能直接從對角矩陣看出來，它的 rank 是對角線上非零的數的數量，nullity 是對角線上零的數量。