泛函分析雜記（一）
國立清華大學
前情提要
Hahn Banach Theorem
X 是賦範空間，M 是 X 的線性子空間，f 是 M 上的泛函。f 如果有界，則 f 可以擴展成 X 上的泛函 F ( F 限制在 M 上是 f )，||F||=||f||。（一般來說，泛函限制在子空間上，在子空間的範數小於等於在整個空間的範數）
令 M⟂ 為 X 上那些把 M 都送到 0 的線性泛函，M⟂ 是 X* 的一個閉子空間，X*/M⟂ 等距同構於 M*，同構把等價類送到代表元素限制在 M 上的泛函。單射是顯然的，滿射則用到 Hahn Banach 擴展 M 上的泛函成 X 上的泛函，至於等距的部分，等價類的大小定義為等價類與 0 的距離的最小下界。
那 (X/M)* 同構於什麼？答案是 M⟂
Reflexive space
向量空間 X 每個向量 w 可以做為 (X*)*=X** 的元素，如果用 ŵ 表示，那對每個 X 上的線性泛函 f，ŵ(f)=f(w)。一個 Banach space X 可以透過這種方式同構於 X**，則它是一個 reflexive space。一個很有名的例子，就是 L^p 和 L^q 空間（1/p+1/q=1），兩者互為對方的對偶空間，於是對偶的對偶就是自己。反例我們就考慮所有收斂到 0 的複數數列 C₀，它的對偶空間是 𝓁 ¹，絕對收斂的數列空間。𝓁 ¹ 的對偶空間是 𝓁 ᪲，絕對值有界的數列空間，這是比 C₀ 大很多的空間，所以 C₀ 不是一個 reflexive space。
2nd Baire Category Theorem
一個完備的賦距空間，如果是可數個子集的聯集，則這些子集裡至少有一個的閉包的內部非空。
Open Mapping Theorem
X, Y 為 Banach spaces ，A:X→Y 有界且滿射，則 A 把 X 的開集送到 Y 的開集
Inverse Mapping Theorem
X, Y 為 Banach spaces ，A:X→Y 有界且雙射，則 A⁻¹:Y→X 連續
Closed Graph Theorem
X, Y 為 Banach spaces ，A:X→Y 使得 G(A)={x⊕Ax|x∈X} 是 X⊕Y 當中的閉集，則 A 是連續的
Principle of Uniform Boundedness
X, Y 為賦範空間，ℬ(X,Y)={A:X→Y|A有界}。如果 S 是 ℬ(X,Y) 的子集，對所有 x∈X 滿足 sup{||Ax||, A∈S}<∞，則 sup{||A||, A∈S}<∞
Corollary 1
X 是賦範空間，A⊆X 有界等價對所有 f∈X* 都有 sup{|f(a)|, a∈A}<∞
Corollary 2
X 是賦範空間，A⊆X* 有界等價對所有 x∈X 都有 sup{|f(x)|, f∈A}<∞
Corollary 3
X 是 Banach space，Y 是賦範空間，S⊆ℬ(X,Y)，若對所有 g∈Y*, x∈X 都有 sup{|g(Ax)|, A∈S}<∞，則 sup{||A||, A∈S}<∞
Banach Steinhaus Theorem
{Aₙ}⊂ℬ(X,Y) 使得對所有 x∈X 存在 y∈Y 使得 ||Aₙx-y||→0 隨著 n→∞，則存在 A∈ℬ(X,Y) 對上述 x, y 滿足 Ax=y，且 sup||Aₙ||<∞
考慮局部緊緻空間 X，X 加上一點 ∞ 成為緊緻空間，記作 X ͚，此時 ∞ 這點的臨域的補集是 X 當中的緊緻集。
C₀(X)={ f∈C(X), 令 f(∞)=0 則 f∈C(X ͚) }
M(X)={ X 上的正則 Borel 測度 }
C₀(X)*=M(X)
如果 {fₙ}⊂C₀(X)，那麼對所有 μ∈M(X) 滿足 ∫fₙdμ→∫fdμ，等價於 sup||fₙ||<∞ 且對所有 x∈X 滿足 fₙ(x)→f(x)
