泛函分析雜記（二）
國立清華大學
前情提要
一個向量空間 X 上的半範數 p:X→[0,∞) 滿足
p(x+y)≤p(x)+p(y)
p(ax)=|a|p(x)
如果只有 0 滿足 p(0)=0，那 p 又叫範數，定義出距離並誘導出拓樸。一個次線性泛函 f:X→ℝ 則是滿足
f(x+y)≤f(x)+f(y)
p(ax)=ap(x)
a 是任何非負實數
拓樸向量空間 (X,τ) 是具備拓樸 τ 的向量空間 X，這個拓樸 τ 使
向量加法 +:X×X→X
係數乘法 •:𝔽×X→X
都是連續的
拓樸向量空間 (topological vector space) 簡稱 TVS
P={pᵢ} 是一些 X 上的半範數，它們可以定義一個拓樸的基底，基底都是 ∩{x∈X|pᵢ(x-x₀)<εᵢ} 的形式，交集是有限的交集。這個方式定義的拓樸，使得 X 是一個 TVS。當 P 裡面所有 {x∈X|pᵢ(x)=0} 的交集是 {0}，X 就是局部凸空間 (locally convex space)，簡稱 LCS。交集是 {0} 的條件，使 LCS 是 Hausdorff 空間。
一個向量空間上面可以有距離，但這個距離不一定是某個範數給出的。我們通常只考慮有一些良好性質的距離，使得空間會是 TVS。如果距離 d 滿足平移不變的性質 d(x+z,y+z)=d(x,y)，且在這個距離下是完備的，這個空間就叫 Fréchet space。
一般來說 TVS 上面沒有距離，但還是可以訂「有界」。一個 TVS 的子集 B 說是有界的，如果任何一個 0 的臨域 U，都存在一個 λ 使得 B⊆λU。對於賦範空間來說，這件事就等價 sup{||b||, b∈B}<∞。
Theorem
f:X→𝔽 是一個 TVS 上的線性泛函，則下列等價：
(1) f 是連續的
(2) f 在 0 連續
(3) f 在某一點連續
(4) ker f 是閉集
(5) x↦|f(x)| 是連續的半範數
如果 X 是由一些半範數 P 決定的，則還有一個等價條件
(6) 存在 p₁,…,pₙ∈P 和正數 a₁,…,aₙ 使得有不等式 |f(x)|≤Σaᵢpᵢ(x), i=1~n
一個凸集合，是對裡面任何兩點 x, y，連結兩點的線 {tx+(1-t)y|0≤t≤1} 都還在這個集合裡面的線。
Proposition
G 是包含 TVS X 原點的開凸子集，則 q(x)=inf{t|t≥0∧x∈tG} 是一個非負連續次線性泛函，且 G={x|q(x)<1}
一個向量空間 X 裡的超平面 M，是滿足 dim(X/M)=1 的線性子空間
Theorem
G 是不包含 TVS X 原點的開凸子集，則存在閉超平面 M 和 G 不相交
一個仿射超平面 M 是一個平移的超平面，精確地說，對每個 x₀∈M，M-x₀ 是一個超平面。一個仿射線性子空間 Y 是一個平移的線性子空間，精確地說，對每個 x₀∈Y，Y-x₀ 是一個線性子空間。一個 TVS 的仿射子空間，是閉的仿射線性子空間。
Corollary
G 是 TVS X 的非空開凸子集，Y 是 X 的仿射子空間且與 G 不相交。則存在一個閉的仿射超平面 M 使得 Y 是 M 的子集且 M 與 G 不相交。
