《幾何原本》（希斯版）第一章定義 1–23 （未完待續）不定期更新 筆記 心得 7/13一點小更新
若是有人看到這篇其實可以對文章提出任何負面看法，也可以彼此不同意彼此的觀點。只要保持尊重即可，謝謝。
是這樣的，小弟因為拜讀此名著深受感動。因此，想為它寫一篇心得，歡迎大家一起分享自己的創見。
定義1
點是沒有部分的。
事實上，此定義最早可以追溯至畢達哥拉斯學派。單位是沒有部分且不具位置的東西；點是沒有部分且具有位置的東西。
但是，歐幾理得的定義是否充分呢？普羅克魯斯回答：點作為幾何學的概念，是唯一沒有部分的，所以此定義已經十分充足。
為何這個定義使用了完全否定？想像一下，如果將一個物體的面切割至只剩一個面，將面切割至只剩一條線，將線切割至只剩一個點，那麼點就是沒有部分的東西。
關於點，現代數學家們似乎不再嘗試做出先驗的定義了，只是拿生活中的事物舉例。想像一下，將一粒沙子不停地縮小，這個沙子的組成部份越來越少，直至我們肉眼已經看不見了。這個情況下，我們必須想像這個過程有一個終點。然而，這種觀點是站不腳的。這樣的過程會結束，並不是理解的行為，因為不在我們的經驗中，而是純粹意志的結果。可以想見，點是一種極限的概念，是被假定的概念。
定義2
算了，我懶了（改天再寫）。
…………
定義4
直線是它上面的點一樣地平放的線
關於直線小弟憑印象寫下相關有名定義
1直線是被延伸到極致的線
2直線是不能夠與自己圍成圖形的線
3直線是兩點間最短的線
這個定義明顯是從阿基米得公理改寫而來，並且這個定義其實預設三角形兩邊之和大於第三邊這道命題為真，其實有點冗餘
4直線是它上面取定兩點讓它繞著自己旋轉時它上面每一個點在空間中位置保持不變的線。
關於直線的定義，數學家們認為這樣的嘗試注定是失敗的。最好的定義應可以把直線的所有性質給闡述出來。
定義7
平面是它上面的直線一樣地平放的直線。
關於這個定義，類似的定義是定義5：直線是它上面的點一樣地平放的直線。
這兩個定義，事實上很多數學家是看不懂的。自古以來有好幾種解釋，我們當然要參考普羅克羅斯的觀點。
想像一下，在一條線中隨意取兩點，這兩點之間有個最短的距離。直線就是那種隨意取兩點，擷取的線段剛好等於兩點之間最短距離的線。若是換成隨意的曲線，則不符合定義。這樣的解讀，是把阿基米德公里聯繫起來的（兩點之間最短的線是直線）。
但是，這種觀點也站不著腳。因為使用同樣地邏輯來解讀定義7，兩條直線不能產生一個封閉的面。因此，這應該不是歐幾理得想要傳達的觀點。
根據作者考古的結果，歐幾理得應該是想要表達：若在一條直線取一部份，或面上取一條直線，都能全等於其他任意位置作出的線段，甚至反向全等。
關於平面，小弟對此進行了一些研究。事實上，我已經拜讀完整本《幾何原本》，現在是在對最權威的版本二刷。
小弟發現，歐幾理得確實沒有對平面的性質進行證明。歐幾理得受亞里斯多德的影響，把平面的性質當作公理看待。
可以發現，這本書並不嚴謹。比如，若在一平面內作一三角型，從其兩端點分別到對邊連線，為何這兩條直線必須相交？
想像一下，如果兩個平面相交時，不是交於一條直線，而是交於一個三角型呢？那麼，這兩條連線段分別會從彼此的上方或下方通過。《幾何原本》中大量的定理就無法判定為真。
因此，有必要重新定義平面，創建幾條公理。
何謂平面？關於這個問題，數學家們給出了千百種定義。讓我們來看西姆森定義：平面是它上面一條直線以及直線外一點，所有經此點以及給定直線的所有直線的集合。
傅立葉定義：所有經已知直線上一點與已知直線垂直的直線的集合。
那麼，我們必須思考哪一種定義更加簡潔，不包含冗餘的部分。
西姆森的定義若是套用在剛才提到的三角型中，會涉及到兩個平面相交的問題。你無法從定義中看出兩個平面是否重合。
而傅立葉平面的定義則使用到直角，而若是沒有平面，就不會有直角的概念。此定義已經犯了循環定義。
再來看看羅巴契夫斯基定義
平面是在空間中取定兩點所有到此兩點距離相等的所有點構成的。
希斯版幾何原本其實有給出羅巴契夫斯基如何證明這個定義等價於上面兩個定義，並且證明如果一條直線有兩點在平面上，那麼剩下的點也會在此平面上。
可惜證明過程有漏洞，所以小弟花了超多時間嘗試修正。
最後看看三角形理論
在空間中取定三個點，作一個三角形。將三角形一個頂點與對邊取定一點相連，再從連線段中取定一點。平面是從連線段取定點往三角型上每一個點作的所有射線構成的。
小弟嘗試使用幾條公設推理出平面的性質
1兩點之間只作一條直線。這個定義其實某位義大利數學家有給出一個精彩的論證，可惜預設了平面的存在，以及作出的直線上每一個點都在該平面上，所以沒辦法把它當作命題，只能是公設。
2空間中三個點只能作一個平面
3若兩條直線相交於一點，它們彼此相截而不是相切。
關於這個公設，何謂相截。小弟自己定義是兩條線相交於一點成倒T狀，所有直線上任一點到另一直線上任一點作連線段，所有連線段上的點構成一部份。而另一部份則不包含這些點，所以小弟對相截的理解就是直線延長後，延長線段在另一部份（不包含連線段上所有的點），這樣就能避免預設平面的性質，即作出來的線都在同一平面上
接著小弟有發現根據在這個三角形理論中平面的定義以及小弟給出的第二條公設，可以用反證法證明西姆森性質（即一直線上若有兩點在一平面上，則剩下的點也在同一平面上）
好了，小弟睡覺時間到了，改天再寫吧！晚安
…….
定義23
平行線是在一個平面中兩條不相交的直線。
關於平行線，數學家們的定義區分成三種。
第一種是：兩平行線是不相交的。這個定義有兩種可能。第一種是兩平行線沒有重合部分；第二種則是它們會在無限遠處相交。
有些數學家採取此種定義。比如，平行線是一條直線以及線外一點，作一射線到給定直線上時，當此射線越來越遠離給定點時，便是平行線。
這個定義其實與接下來談到方向理論有一點關係，因為你會發現兩條直線其實指向同一方向。
但是，也有學者反駁說，這一類定義不符合我們的經驗，因為誰也沒有見過兩條不相交的直線。
（算了不寫了）
關於平行線，小弟有發現其性質不好證明。
比如，若是假定兩條平行線，在其中一條線上任一點作垂線，作出的所有垂線彼此相等；或第五公設；或平面上線外一點只能作一條直線平行于已知直線；或兩平行線被一直線所截所成內錯角相等；三角形內角和為二直角；在一平面上一圖形經旋轉或平移或鏡向圖形仍全等。
其中一命題作為公理，那麼可證明剩下命題。但是，上述的公理大多不是一眼可以判斷為真的，所以小弟以最後一條與平行的第一種定義證明其他命題。
