嗨大家好久不見，我是許同學XD （現在醫學四了課很滿，比較沒空發文XD） 今天晚上在🉐️勝者輔導，有兩個學生問了一題多項式的數學， 我剛剛回家路上又想了更完整的解釋，所以打個詳解跟大家分享～ （btw 這題出得不錯，大家也可以先自己算看看，再往下看）

這題算數Ａ滿經典的「陷阱題」 因為很多人一看到題目寫「f(x) > 0 恆成立」 立刻想到要去算判別式 D < 0 但先等一下，你這樣可能會漏想一些東西！ 因為只有「全實數恆正」才可以看 D < 0， 如果題目是給你限制範圍（例如：這題限定在 0 <= x <= 4） 只要能確認「區間內的最小值」大於 0，整段自然全部大於 0。 以下是我的解題思路： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【Step 1. 沒想法就先配方吧！去感覺一下圖形走勢】 f(x) = x^2 - 2mx + 2m + 3 = (x - m)^2 - m^2 + 2m + 3 首先，判斷出這是一條開口向上的拋物線，對稱軸是直線 x = m。 再來，我觀察到： 區間 [0, 4] 是固定的，但對稱軸 x = m 會隨著 m 到處跑 這是經典的「動軸定區間」問題 因為開口向上的拋物線的頂點＝最低點， 所以對稱軸落在哪裡，就直接決定了「最小值在哪裡發生」 然後我們再依照對稱軸相對於區間的位置，可以分三種情況討論： 【Step 2. 分別討論三種狀況】 👉情況一：軸在區間左側（m < 0） 軸在左邊，所以在 [0, 4] 這段圖形是一路往上爬（嚴格遞增） 最小值發生在最左端：x = 0 條件：f(0) > 0 f(0) = 2m + 3 > 0 ，所以 m > -3/2 取交集：配合前提 m < 0 得到：-3/2 < m < 0 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 👉情況二：軸在區間內部（0 <= m <= 4） 軸掉在區間裡面，這時候整張圖最低的地方就是頂點 最小值發生在頂點：x = m 條件：f(m) > 0 -m^2 + 2m + 3 > 0 兩邊同乘 -1 （⚠️記得變號！） m^2 - 2m - 3 < 0 (m - 3)(m + 1) < 0 ，所以 -1 < m < 3 取交集：配合前提 0 <= m <= 4 得到：0 <= m < 3 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 👉情況三：軸在區間右側（m > 4） 軸跑去右邊，所以在 [0, 4] 這段圖形是一路掉（嚴格遞減） 最小值發生在最右端：x = 4 條件：f(4) > 0 f(4) = 4^2 - 2m(4) + 2m + 3 = 19 - 6m > 0 所以 m < 19/6（大概3.多） 取交集：前提是 m > 4，但算出 m < 3.多 所以兩者互相矛盾 ，所以這個區間內無解！ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【Step 3. 整理一下，寫答案】 最後，把上面三種狀況的範圍取「聯集」： (-3/2 < m < 0) 聯集 (0 <= m < 3) 聯集 (無解) => -3/2 < m < 3 Ans：-3/2 < m < 3 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 👉題外話＋小小鼓勵（？） 今天剛好距離116年學測剩一百天左右， 明後天剛好又是得勝者的模考日（學生跟我說的） 請各位務必來認真參與、好好面對每次模考！ 然後記得，把學測時該執行的策略都實際用到模考， 例如：數學不會就先跳題、自然難題刪去法趕快猜之類的 再來， 接下來一百天的備考過程中，難免會心情起伏， 這時可以透過音樂、運動、冥想、跟朋友聊聊來舒壓， 然後要記得：一切都是過程，你終究會去到屬於你的地方。 所以放心吧，預祝各位116學測都順利金榜！ （我要繼續去唸病理、藥理跟準備小組討論簡報了XD）